Error en la aproximación

Un polinomio de Taylor no siempre coincide exactamente con la función original.

La diferencia entre ambos se conoce como error de aproximación.

En general, el error:

• disminuye al aumentar el grado del polinomio
• y es menor cerca del punto de expansión \(x_0\).

Idea conceptual:

La diferencia entre la función y el polinomio aproximante se conoce como error de aproximación.

\(E_n(x)=f(x)-P_n(x)\)

Observa cómo la diferencia entre la función y el polinomio aproximante cambia al aumentar el grado.

Actividad:

Observa el applet y responde:

• ¿Qué ocurre con la aproximación cuando\(n=1\)?
• ¿Cómo cambia el error al aumentar el grado a \(n=5\)?
• ¿En qué regiones la aproximación parece ser mejor?
• ¿Qué ocurre al alejarnos de \(x=0\)?
• ¿El error desaparece completamente?

Estimación del error:

El applet muestra que la aproximación mejora cerca de \(x_0\) y al aumentar el grado del polinomio.

Pero surge una pregunta natural:

¿podemos estimar matemáticamente qué tan grande es el error?

El error puede estimarse mediante la fórmula de Lagrange:

\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)

para algún valor \(c\) entre \(x\) y \(x_0\).

Esta expresión muestra que el error depende de varios factores:

• la distancia al punto de expansión
• el grado del polinomio
• y el comportamiento de derivadas de orden superior.

Los polinomios de Taylor permiten aproximar funciones complejas utilizando información local obtenida a partir de derivadas. La fórmula del error ayuda a entender qué tan precisa es esa aproximación.