Transformaciones

Muchas funciones se parecen entre sí: cambian de lugar horizontal o verticalmente, se estiran, se voltean, pero conservan su forma básica.

En esta sección exploraremos cómo una gráfica conocida puede transformarse en muchas otras. Partiremos de una función base y analizaremos qué ocurre al modificar distintos parámetros.

Sea \(g(x)=b*f(a(x-h))+k\), los parámetros \(a\), \(b\), \(h\) y \(k\) modifican la gráfica de \(f\) de distintas maneras. Trabajaremos con este applet en cuatro etapas, enfocándonos en un parámetro distinto en cada una.

Etapa 1: efecto de los parámetros \(h\) y \(k\):

Fija \(a=1\) y \(b=1\)

• Mueve el parámetro \(h\), ¿la gráfica se mueve a la izquierda o a la derecha?
• Mueve el parámetro \(k\), ¿qué ocurre verticalmente?, ¿la forma de la gráfica cambia?

Al movimiento que ocurre cuando movemos \(h\) se le llama una translación horizontal, y al movimiento que ocurre cuando movemos \(k\), una translación vertical.

Etapa 2: efecto en el parámetro \(b\):

Fija \(h=0\) y \(k=0\)

• Cambia \(b\), con \(b>0\), ¿la gráfica se vuelve más empinada (más empinada=mayor pendiente) o más plana?
• Cambia \(b\), con \(b<0\), ¿qué ocurre con la gráfica?

Este tipo de cambio se llama estiramiento vertical y cuando \(b<0\), como reflexión vertical.

Etapa 3: efecto en el parámetro \(a\):

Fija \(b=1\), \(h=0\) y \(k=0\)

• Cambia \(a\), ¿la gráfica se "compacta" o se "estira" horizontalmente?
• Compara con lo que ocurre cuando cambias \(b\).
• ¿Por qué cambiar \(a\) afecta la gráfica de manera distinta a cambiar \(b\)?

Aunque la función original no cambió, su gráfica puede moverse, estirarse o reflejarse al modificar los parámetros. Las transformaciones permiten generar muchas gráficas a partir de una sola función base.

Actividad: Hasta ahora hemos trabajado con una función específica para entender el efecto de cada parámetro. Ahora explora qué ocurre cuando cambias la función base \(f(x)\).

Sugerencia de funciones para probar:

• \(f(x)=2\sqrt{1-x}\)
• \(f(x)=\frac{1}{x+3}\)
• \(f(x)=-x^2+1\)
• \(f(x)=-4x-3\)

Con esas funciones observa:

• ¿qué transformación (o transformaciones) cambian el dominio de la función?
• ¿y el rango?