El Teorema Fundamental del Cálculo

La derivada estudia cómo cambia una cantidad.

La integral acumula pequeños cambios.

¿Existe una conexión entre ambas ideas?

Supongamos que definimos:

\(A(x)=\int_a^x f(t)dt\)

donde \(A(x)\) representa la cantidad acumulada desde \(a\) hasta \(x\).

Al mover \(x\), el área cambia.

Pero, ¿a qué razón cambia?

Observa el siguiente applet:

Teorema Fundamental del Cálculo (Acumulación y derivada):

El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que:

\(A'(x)=f(x)\)

Es decir:

la derivada de la acumulación recupera la función original.

Teorema Fundamental del Cálculo (Evaluación de integrales):

\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)

donde

\(F'(x)=f(x)\)

El cálculo diferencial y el cálculo integral no son ideas separadas: son procesos inversos.

Actividad:

Reflexiona y responde:

• ¿Cómo se relacionan las ideas de cambio y acumulación?
• ¿Por qué el Teorema Fundamental del Cálculo conecta derivadas e integrales?
• ¿Qué representa la función \(A(x)\)?
• ¿Qué significa que \(A'(x)=f(x)\)?

El Teorema Fundamental del Cálculo unifica las dos ideas centrales del cálculo: cambio y acumulación.