Cálculo Univariado
FUNCIONES Y GRÁFICAS
En este capítulo estudiaremos el concepto de función como una herramienta para describir relacion...
Funciones: idea y representaciones
Antes de que aparezcan fórmulas y gráficas, piensa en esto: Cada vez que revisas el clima, cada ...
Funciones reales y gráficas en el plano
A cada tipo de función le corresponde una forma característica. En esta sección estudiaremos dist...
Transformaciones
Muchas funciones se parecen entre sí: cambian de lugar horizontal o verticalmente, se estiran, se...
Otras funciones importantes
En esta sección exploraremos algunas funciones que aparecen con mucha frecuencia en matemáticas y...
LÍMITES
En este capítulo estudiaremos el concepto de límite como una herramienta para entender qué ocurre...
Motivación: paradoja de Zenón
Desde la antigüedad, filósofos y matemáticos se han preguntado qué significa acercarse a un valor...
Acercarse a un valor: noción de límite
En la paradoja de Zenón vimos que un proceso puede acercarse cada vez más a un resultado sin nece...
Límites Laterales
En ocasiones no basta con decir que una variable se acerca a un valor. También importa desde qué ...
Límites al infinito
Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero tambi...
Continuidad
Imagina que recorres la gráfica de una función con la punta de un lápiz.Si puedes dibujarla sin l...
Discontinuidades
En la sección anterior vimos que una función es continua en \(a\) cuando se cumplen tres condicio...
DERIVADAS
En muchos contextos no solo nos interesa conocer el valor de una función, sino también cómo cambi...
El problema del cambio
Muchas cantidades en el mundo cambian constantemente. la velocidad de un automóvil la tempera...
Rectas Secantes y cambio promedio
En la página anterior nos preguntamos cómo medir el cambio en un instante. Antes de responder es...
Recta Tangente
En la página anterior vimos cómo una recta secante mide el cambio entre dos puntos. Pero surge u...
Definición de Derivada
En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta ...
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Hasta ahora hemos construido la derivada a partir de la idea de cambio: primero como una razón de...
¿Qué mide la derivada?
En el capítulo anterior definimos la derivada como la pendiente de la recta tangente. Pero ahora...
Crecimiento y Decrecimiento
Hasta ahora vimos que la derivada nos dice qué tan rápido cambia una función. Pero hay algo aún ...
Máximos y Mínimos
Hay puntos especiales donde la derivada es cero.En esos puntos, la función deja de crecer o decre...
Puntos críticos
Hasta ahora parece que cuando la derivada es cero, la función tiene un máximo o un mínimo, pero, ...
CURVATURA DE LAS FUNCIONES
Hasta ahora hemos utilizado la derivada para entender cómo cambia una función:si crece, decrece o...
¿Cómo se curva una función?
Hasta ahora hemos descrito si una función crece o decrece. Pero eso no cuenta toda la historia. ...
¿Qué nos dice la derivada sobre la curvatura?
Hasta ahora hemos descrito la curvatura de una función observando su gráfica. Pero surge una preg...
La segunda derivada
En la página anterior vimos que la curvatura de una función está relacionada con cómo cambia su p...
REGLAS DE DERIVACIÓN
En este capítulo veremos cómo calcular derivadas de forma sistemática. A partir de las ideas des...
¿Cómo calcular derivadas?
Hasta ahora hemos usado la derivada para entender cómo cambian las funciones. Pero surge una nue...
Regla de la suma y constante
Las reglas más básicas permiten derivar sumas de funciones y constantes de manera directa. Regla...
Regla del producto
Cuando una función es el producto de dos funciones, su cambio depende de cómo cambia cada una de ...
Regla de la cadena
Cuando una función está dentro de otra, su cambio ocurre en dos niveles. Regla: \((f(g(x))'=f'(...
Regla del cociente
Cuando una función es el cociente de dos funciones, su derivada se calcula con la siguiente regla...
SERIES DE TAYLOR Y APROXIMACIÓN
En este capítulo veremos cómo aproximar funciones complicadas usando polinomios. A partir de la ...
¿Cómo aproximar una función?
Muchas funciones son complicadas de calcular exactamente. Sin embargo, cerca de un punto, su com...
Polinomio de Taylor
La idea detrás de las aproximaciones anteriores es construir un polinomio que comparta cada vez m...
Error en la aproximación
Un polinomio de Taylor no siempre coincide exactamente con la función original. La diferencia en...
LA INTEGRAL
Hasta ahora hemos utilizado la derivada para describir cómo cambian las funciones. La integral s...
¿Cómo reconstruir una cantidad?
En el estudio de derivadas, partimos de una posición para entender cómo cambia una cantidad. En ...
Sumas de Riemann
En la página anterior aproximamos una cantidad acumulada utilizando rectángulos. Ahora daremos n...
La integral definida
En las sumas de Riemann aproximamos una cantidad acumulada usando un número finito de rectángulos...
El Teorema Fundamental del Cálculo
La derivada estudia cómo cambia una cantidad. La integral acumula pequeños cambios. ¿Existe una...
Antiderivadas e integrales indefinidas
Distintas funciones pueden tener exactamente la misma derivada. Por ejemplo, todas las funciones...
MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACIÓN
Aunque derivar una función suele seguir reglas relativamente sistemáticas, integrar puede ser con...
Sustitución
La regla de la cadena permite derivar composiciones de funciones. El método de sustitución surge...
Integración por partes
La integración por partes surge al reorganizar la regla del producto. Recordatorio: \((fg)' = f...
Más allá de los métodos básicos
A diferencia de muchas derivadas, las integrales pueden ser considerablemente más difíciles de ca...
FUNCIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
Algunas funciones aparecen constantemente en cálculo debido a la manera en que modelan cambio, ac...
Funciones Trigonométricas en Cálculo
Muchas funciones en cálculo describen fenómenos que cambian de manera periódica. Oscilaciones, o...
La función logarítmica
A diferencia de muchas funciones conocidas, el logaritmo natural puede construirse directamente a...
Una propiedad fundamental del logaritmo
La definición del logaritmo como área acumulada permite descubrir propiedades sorprendentes. Una...
La función exponencial
La función exponencial surge como la inversa del logaritmo natural. Si: \(y=\ln(x)\) entonces ...
Derivadas e integrales
Algunas funciones aparecen constantemente en cálculo porque sus derivadas e integrales conservan ...
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Hasta ahora hemos utilizado la integral para calcular áreas y para reconstruir funciones a partir...
Área entre curvas
Ya sabemos cómo calcular el área bajo una curva. Pero muchas regiones de interés no están delimi...
Volúmenes de revolución
Ya sabemos cómo calcular áreas mediante integrales. Pero muchas veces una región plana puede uti...
Valor promedio de una función
Cuando calculamos el promedio de varias cantidades, sumamos todos los valores y dividimos entre e...
Longitud de arco
Cuando una función representa una trayectoria o un camino, puede ser útil conocer su longitud. P...