Definición de Derivada

En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta especial: la recta tangente.

Pero surge una pregunta: ¿cómo describir matemáticamente esa recta?

Sabemos que la pendiente de la recta secante es:

\(\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)

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Si hacemos que la distancia entre los puntos, \(\Delta{x}\) se acerque a \(0\), esta expresión se aproxima a la pendiente de la recta tangente.

A ese valor se le llama derivada de la función en el punto \(x_0\) y se define como:

\(f'(x)=\lim_{\Delta{x} \to 0}\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\)

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Esta expresión representa la pendiente de la recta tangente en el punto.

Es decir, describe el cambio instantáneo de la función.

Actividad

Explora el applet y responde:

• ¿Qué ocurre con la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos tiende a cero?
• ¿A qué valor parece acercarse?
• ¿Cómo se relaciona este valor con la pendiente de la recta tangente?
• ¿Por qué necesitamos usar un límite para definir la pendiente en un punto?

La derivada permite describir cómo cambia una función en cada instante.

Es la herramienta que nos permite pasar de observar el cambio a medirlo con precisión.