Límites Laterales

En ocasiones no basta con decir que una variable se acerca a un valor. También importa desde qué lado se aproxima.

Podemos acercarnos a un número \(a\) de dos maneras:

• por valores menores que \(a\) es decir, por la izquierda;
• por valores mayores que \(a\), es decir, por la derecha.

Esta distinción da lugar a los límites laterales.

Decimos que

\[ \lim_{x\to a^-} f(x) \]

representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) por la izquierda.

De manera similar,

\[ \lim_{x\to a^+} f(x) \]

representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) por la derecha.

Un límite existe cuando los valores a los que se aproxima la función desde la izquierda y desde la derecha coinciden.

 El \( \lim_{x\to a} f(x) \) existe si \( \lim_{x\to a^+} f(x) \)=\( \lim_{x\to a^-} f(x) \)

Actividad

Observa el siguiente ejemplo:

\[ f(x)=\frac{2x^2-7x+3}{|x-3|} \]

Explora el applet y analiza qué ocurre cuando \(x\) se aproxima a \(3\) por ambos lados.

Preguntas para pensar

• ¿Qué valores toma la función cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la izquierda?
• ¿Qué valores toma cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la derecha?
• ¿Parece que la función se aproxima al mismo valor en ambos casos?
• Si los valores a los que se acerca son distintos, ¿podemos decir que existe un único límite?
• ¿Puede existir un límite lateral aunque el límite completo no exista?

En este ejemplo, la aproximación por la izquierda y por la derecha no conduce al mismo valor. Decimos entonces que los límites laterales son distintos:

\[ \lim_{x\to 3^-} f(x) = -5 \qquad \lim_{x\to 3^+} f(x) = 5 \]

Como estos valores no coinciden, el límite de la función cuando \(x\to3\) no existe.

Idea importante

Para que exista el límite de una función en un punto, es necesario que la función se aproxime al mismo valor desde ambos lados.

\[ \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe} \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x) \]