Funciones reales y gráficas en el plano

A cada tipo de función le corresponde una forma característica. En esta sección estudiaremos distintos tipos de funciones a través de sus gráficas, enfocándonos en cómo la regla que define a la función se refleja en su gráfica.

Estudiaremos funciones reales: \(X \subseteq \mathbb{R}\) y \(Y \subseteq \mathbb{R}\). La función se denota \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

La notación \(f(x)\) se lee como "f de x". Si \(f(x)=x^2\) entonces \(f(3)=9\), \(x\) es la variable independiente y \(y=f(x)\) es la variable dependiente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de todos los puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\).

Criterio de la vertical: una gráfica corresponde a una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica a lo más una vez.

Ejemplos:

1. Funciones lineales: tiene la forma \(f(x)=mx + b\). Son las más simples, pero no las menos importantes. Describen crecimiento constante y aparecen en modelos económicos, físicos y sociales.

Abre el applet de geogebra y realiza las siguientes actividades:

• Elige dos valores distintos de \(m\) que generen rectas que se crucen en el mismo punto. ¿qué observas sobre ese punto?, ¿de qué depende?
• Encuentra valores de \(m\) y \(b\) tales que la recta:
  • pase por el origen
  • sea horizontal
  • sea decreciente
  • pase por el punto \((2,3)\)

2. Funciones cuadráticas: tiene la forma \(f(x)=ax^2 + bx+c\). Muchas trayectorias en la vida real tienen forma parabólica: el recorrido de un objeto lanzado, el movimiento de una pelota. Usa la gráfica que aparece a continuación y realiza las siguientes actividades:

• Mantén \(b\) y \(c\) fijos. Cambia lo \(a\)
  • ¿Qué permanece igual en todas las parábolas?
  • ¿La parábola se hace más abierta, más cerrada, se voltea?
  • ¿El vértice cambia de lugar?
• Fija \(a\) y \(b\), cambia \(c\).
  • ¿Cómo se mueven las parábolas en el plano?
  • ¿La gráfica se desliza, gira, se estira o se voltea?
  • ¿Qué cambia de la gráfica y qué permanece igual?

Las funciones lineales y cuadráticas que hemos estudiado hasta ahora pertenecen a una misma familia: las funciones polinomiales. Estas funciones están definidas para todo número real y sus gráficas no presentan cortes ni saltos.

3. Funciones racionales: forma general: \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), son el cociente de dos polinomios. En algunas funciones, no todos los valores de una variable están permitidos. Las funciones racionales son un ejemplo importante: su gráfica puede presentar rupturas y asíntotas debido a restricciones en el dominio. Sus gráficas son muy útiles para analizar estos comportamientos.

Primer applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) 

• Encuentra un valor de \(x\) donde la gráfica "se rompa", ¿qué ocurre con el denominador en ese punto?.
  
• Ajusta los parámetros para que:
  • La gráfica tenga una asíntota vertical en \(x=1\)
    
  • No tenga ninguna asíntota vertical, ¿qué condición cumple el denominador en este caso?
• Observa la gráfica cerca de una asíntota vertical
  • ¿qué le pasa a \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a ese valor por la izquierda y por la derecha?
• Completa la frase: "El parámetro ____ controla principalmente  ____, mientras que el parámetro ____ controla ____"

Segundo applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{(x-r)(x-s)}\) 

• Ajusta los parámetros para que:
  • la gráfica tenga dos asíntotas verticales
  • tenga solo una.
• Observa que pasa si \(r=s\), ¿cómo cambia la gráfica?
• Observa el comportamiento de la gráfica cerca de cada asíntota, ¿es igual en las dos? 

4. Raíces cuadradas: Son de la forma \(f(x)=a\sqrt{x-h}\). No todas las funciones empiezan en cualquier punto: las funciones raíz cuadrada tienen un punto inicial que determina su dominio. Estas funciones aparecen de forma natural al describir distancias y longitudes que no pueden ser negativas. Describen fenómenos que sólo existen a partir de cierto instante.

Con el applet de geogebra, realiza las siguientes actividades:

• Mueve \(h\) hasta que la gráfica "empiece" exactamente en \(x=2\)
  • ¿qué valor toma \(h\)
  • ¿qué representa ese punto inicial de la gráfica?
• Ajusta \(a\) para que la gráfica:
  • sea más "empinada"
  • sea más "aplanada"
  • se refleje hacia abajo, ¿cómo son los valores de \(a\) en este caso.
• Fija \(h\) y cambia solo \(a\), ¿el dominio cambia?, ¿y el rango?
• Fija \(a\) y cambia solo \(h\), ¿qué le pasa al dominio?, ¿qué le pasa al punto donde inicia la gráfica?

5. Funciones definidas por partes:

     5.1. Función piso. La función piso \(f(x)=\lfloor x \rfloor\) devuelve el entero más cercano por debajo de \(x\). Es una función que está definida para todo \(x\) pero no cambia de manera continua. Un ejemplo de esta función es la edad: cuando alguien pregunta cuántos años tienes, normalmente respondemos un número entero. Aunque hayas cumplido 20 años y 3 meses, la respuesta es que tienes 20 años.

            Actividad: 

• Describe con tus palabras qué hace esta función, ¿se parece a un redondeo?, ¿hacia dónde?
• Si \(x=2.7\), ¿cuánto vale \(f(x)\)?
• Observa la gráfica en los enteros, ¿qué ocurre en \(x=1,2,3,4,...\)
• ¿por qué hay círculos cerrados y puntos llenos?
• ¿el dominio tiene restricciones?, ¿el rango qué tipo de números contiene?

     5.2. Ejemplo general de función definida por partes: La regla que define a la función cambia dependiendo del valor de \(x\). 

            Actividad:

• ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el rango?
• ¿En qué intervalos la función es constante, creciente, decreciente?
• Mueve el deslizador y completa la tabla:

  \(x_0\)	Regla que se usa	\(f(x_0)\)
  -1.5
  0
  1.5
  6

• ¿La gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz?
• En una función definida por partes, ¿qué es más importante: la fórmula o los intervalos donde se aplica?, explica tu respuesta.

 

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

En los ejemplos anteriores vimos que no todas las funciones están definidas para todos los valores de \(x)\. A este conjunto de valores permitidos se le llama dominio de la función.

Algunas funciones restringen su dominio de forma implícita, entre las restricciones comunes están:

• División por cero: el denominador nunca puede ser \(0\).
• Raíces cuadradas (en funciones reales): el argumento no puede ser negativo.

Ejemplos:

1. \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) no está definida en \(x=1\), el dominio es: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Aunque la expresión se puede simplificar, la función original no está definida en ese punto.
2. \(f(x)=a\sqrt{x-h}\) no está definida para \(x<h\), el dominio es: \([h,\infty)\)

Actividad de cierre: Para cada una de las funciones estudiadas en esta página:

• ¿Está definida para todo\(x\)?
• Si no, ¿qué restricción aparece y por qué?
• ¿Cómo se refleja esa restricción en la gráfica?