Error en la aproximación
Un polinomio de Taylor no siempre coincide exactamente con la función original.
La diferencia entre ambos se conoce como error de aproximación.
En general, el error:
- disminuye al aumentar el grado del polinomio
- y es menor cerca del punto de expansión \(x_0\).
Idea conceptual:
La diferencia entre la función y el polinomio aproximante se conoce como error de aproximación.
\(E_n(x)=f(x)-P_n(x)\)
Observa cómo la diferencia entre la función y el polinomio aproximante cambia al aumentar el grado.
Actividad:
Observa el applet y responde:
- ¿Qué ocurre con la aproximación cuando\(n=1\)?
- ¿Cómo cambia el error al aumentar el grado a \(n=5\)?
- ¿En qué regiones la aproximación parece ser mejor?
- ¿Qué ocurre al alejarnos de \(x=0\)?
- ¿El error desaparece completamente?
Estimación del error:
El applet muestra que la aproximación mejora cerca de \(x_0\) y al aumentar el grado del polinomio.
Pero surge una pregunta natural:
¿podemos estimar matemáticamente qué tan grande es el error?
El error puede estimarse mediante la fórmula de Lagrange:
\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)
para algún valor \(c\) entre \(x\) y \(x_0\).
Esta expresión muestra que el error depende de varios factores:
- la distancia al punto de expansión
- el grado del polinomio
- y el comportamiento de derivadas de orden superior.
Los polinomios de Taylor permiten aproximar funciones complejas utilizando información local obtenida a partir de derivadas. La fórmula del error ayuda a entender qué tan precisa es esa aproximación.