El Teorema Fundamental del Cálculo
La derivada estudia cómo cambia una cantidad.
La integral acumula pequeños cambios.
¿Existe una conexión entre ambas ideas?
Supongamos que definimos:
\(A(x)=\int_a^x f(t)dt\)
donde \(A(x)\) representa la cantidad acumulada desde \(a\) hasta \(x\).
Al mover \(x\), el área cambia.
Pero, ¿a qué razón cambia?
Observa el siguiente applet:
Teorema Fundamental del Cálculo (Acumulación y derivada):
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que:
\(A'(x)=f(x)\)
Es decir:
la derivada de la acumulación recupera la función original.
Teorema Fundamental del Cálculo (Evaluación de integrales):
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)
donde
\(F'(x)=f(x)\)
El cálculo diferencial y el cálculo integral no son ideas separadas: son procesos inversos.
Actividad:
Reflexiona y responde:
- ¿Cómo se relacionan las ideas de cambio y acumulación?
- ¿Por qué el Teorema Fundamental del Cálculo conecta derivadas e integrales?
- ¿Qué representa la función \(A(x)\)?
- ¿Qué significa que \(A'(x)=f(x)\)?
El Teorema Fundamental del Cálculo unifica las dos ideas centrales del cálculo: cambio y acumulación.