El teorema de continuidad establece que la probabilidad es una función continua respecto a sucesiones monótonas de eventos:
\[
\begin{aligned}
\text{Si } A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots &\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \\
\text{Si } A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots &\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)
\end{aligned}
\]
Es una consecuencia directa de los axiomas K2 y K3 (no un axioma adicional).
Visualización: Sucesión creciente de intervalos
Ejemplo: sucesión creciente
Para \(A_n = [0, n]\), tenemos \(A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots\) y \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [0, \infty)\).
\[
\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \lim_{n\to\infty} (1 - e^{-\lambda n}) = 1 = \mathbb{P}([0, \infty))
\]
Ejercicio
Sea \(B_n = (0, 1/n)\) para \(n=1,2,\ldots\), una sucesión decreciente de eventos (\(B_1\supseteq B_2\supseteq\cdots\)) para una variable aleatoria \(X\) uniforme en \((0,1)\). Use el teorema de continuidad para encontrar \(\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(B_n)\).
Como \(X\sim\text{Unif}(0,1)\), \(\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(0<X<1/n) = 1/n\). La intersección \(\bigcap_{n=1}^\infty B_n = \emptyset\) (ningún punto \(x>0\) está en todos los \(B_n\), pues eventualmente \(1/n<x\)). Por el teorema de continuidad, \(\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0\), consistente con \(\lim_{n\to\infty} 1/n = 0\).
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