La función característica de una v.a. \(X\) es:
\[
\varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)]
\]
Siempre existe para todo \(t \in \mathbb{R}\).
Comparativa: FGM vs FC
Relación FGM ↔ FC: Si la FGM existe, entonces \(\varphi_X(t) = m_X(it)\). Propiedad de simetría: Si la distribución es simétrica alrededor de 0, \(\varphi_X(t)\) es real.
Ejemplos: Normal(0,1) → \(\varphi(t) = e^{-t^2/2}\); Cauchy(0,1) → \(\varphi(t) = e^{-|t|}\).
¿Por qué la función característica siempre existe?
Porque \(|e^{itX}| = |\cos(tX) + i\sin(tX)| = 1\) para todo \(t, X\). Por lo tanto, \(|\varphi_X(t)| \le \mathbb{E}[|e^{itX}|] = 1\), y la integral o suma converge absolutamente.
Ejercicio
Usando la relación \(\varphi_X(t) = m_X(it)\) y la FGM de Poisson(λ), \(m_N(t)=e^{\lambda(e^t-1)}\), encuentre la función característica de Poisson(λ).
Sustituyendo \(t\) por \(it\) en la FGM:
\[
\varphi_N(t) = m_N(it) = e^{\lambda(e^{it}-1)}.
\]
A diferencia de la FGM, esta expresión está bien definida para todo \(t\in\mathbb{R}\) real, ya que \(e^{it}\) siempre tiene módulo 1 (no hay problema de divergencia como en la Lognormal).
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