Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) (con \(\mathbb{P}(B) > 0\)) es:
\[
\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}
\]
Interpretación frecuentista: \(\mathbb{P}(A|B) \approx \frac{n(A \cap B)}{n(B)}\).
Simulador: Probabilidad condicional en dados
Propiedades de \(\mathbb{P}(\cdot|B)\)
- \(\mathbb{P}(A|B) \ge 0\) (K1)
- \(\mathbb{P}(\Omega|B) = 1\) (K2)
- Si \(A_1, A_2, \ldots\) son ajenos, \(\mathbb{P}(\bigcup A_i|B) = \sum \mathbb{P}(A_i|B)\) (K3)
¿Puede \(\mathbb{P}(A|B)\) ser mayor que \(\mathbb{P}(A)\)?
¡Sí! Por ejemplo, si \(A = \{2,3,4,5,6\}\) y \(B = \{2,4,6\}\) (pares), entonces \(\mathbb{P}(A)=5/6 \approx 0.833\) pero \(\mathbb{P}(A|B)=1\). ¡Saber que ocurrió B aumenta la probabilidad de A!Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 4, ej. 1) Considere el espacio de probabilidad \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) y el evento \(B\in\mathcal{F}\) tal que \(\mathbb{P}(B)>0\). Muestre que la medida \(\mathbb{P}_B\) definida para todo evento \(A\in\mathcal{F}\) por \(\mathbb{P}_B(A)=\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A\cap B)/\mathbb{P}(B)\) es una medida de probabilidad formal, es decir, satisface los axiomas de Kolmogorov.
K1: \(\mathbb{P}_B(A) = \mathbb{P}(A\cap B)/\mathbb{P}(B) \ge 0\), pues numerador y denominador son no negativos.K2: \(\mathbb{P}_B(\Omega) = \mathbb{P}(\Omega\cap B)/\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B)/\mathbb{P}(B) = 1\).
K3: si \(A_1,A_2,\ldots\) son ajenos, entonces \(A_1\cap B, A_2\cap B,\ldots\) también son ajenos, y \((\bigcup_i A_i)\cap B = \bigcup_i(A_i\cap B)\). Por K3 de \(\mathbb{P}\): \(\mathbb{P}_B(\bigcup_i A_i) = \mathbb{P}(\bigcup_i(A_i\cap B))/\mathbb{P}(B) = \sum_i\mathbb{P}(A_i\cap B)/\mathbb{P}(B) = \sum_i \mathbb{P}_B(A_i)\).
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