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Distribuciones Bernoulli y Binomial

Bernoulli(p): \(X \in \{0,1\}\), \(f(x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\operatorname{var}(X)=p(1-p)\)
Binomial(n,p): \(X = \sum_{i=1}^n Y_i\), \(f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\operatorname{var}(X)=np(1-p)\)

Simulador Binomial

20 0.30

Ejemplo del PDF (cajas dañadas): n=20, p=0.03
\(\mathbb{E}[X]=0.6\), \(\operatorname{var}(X)=0.582\), \(\mathbb{P}(X>1)=0.1199\)

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 14, ej. 2) Demuestre que si \(X\sim\text{Bin}(n,p)\), entonces se tiene la fórmula recurrente: \[ \mathbb{P}(X=x+1) = \frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}\mathbb{P}(X=x). \] Partiendo de la f.m.p.: \(\dfrac{\mathbb{P}(X=x+1)}{\mathbb{P}(X=x)} = \dfrac{\binom{n}{x+1}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}}{\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}}\). Usando \(\binom{n}{x+1}/\binom{n}{x} = (n-x)/(x+1)\), el cociente se simplifica a \(\dfrac{(n-x)}{(x+1)}\cdot\dfrac{p}{1-p}\), que es exactamente la fórmula buscada. Esta recurrencia es útil para calcular tablas de la binomial sin recomputar factoriales completos en cada paso.

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