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Espacio Muestral y Eventos

Un experimento aleatorio es aquel cuya salida varía de manera impredecible. El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todas las posibles salidas. Un evento es un subconjunto de \(\Omega\).

Ejemplos de espacios muestrales

Definiciones clave:

  • \(\Omega\): espacio muestral (conjunto de todos los resultados posibles del experimento)
  • \(\mathcal{F}\): espacio de eventos o σ-álgebra (familia de eventos, cerrada bajo complementos y uniones numerables)
  • \((\Omega, \mathcal{F})\): espacio medible
¿Puede un espacio muestral ser infinito?

¡Sí! Por ejemplo, el número de lanzamientos hasta obtener el primer 5 en un dado: \(\Omega = \{1,2,3,\ldots\}\) (infinito numerable). O el tiempo de vida de una lámpara: \(\Omega = [0, \infty)\) (infinito no numerable).

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 2, ej. 6) Sea \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad donde \(\mathcal{F}\) es una σ-álgebra de subconjuntos de \(\Omega\) y \(\mathbb{P}\) asigna probabilidad \(p>0\) a cada uno de los puntos de \(\Omega\). Muestre que \(\Omega\) debe tener un número finito de puntos, y que si \(n\) es ese número, entonces \(p=1/n\).

Si \(\Omega\) tuviera más de \(1/p\) puntos, podríamos elegir \(k>1/p\) de ellos; como son ajenos, por K3 la suma de sus probabilidades sería \(kp>1\), contradiciendo K2 (\(\mathbb{P}(\Omega)=1\)). Por lo tanto \(\Omega\) es finito, digamos con \(n\) puntos. Como todos tienen la misma probabilidad \(p\) y suman 1 (por K2 y K3, al ser ajenos y cubrir \(\Omega\)), se sigue \(np=1\), es decir \(p=1/n\).

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