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Distribución Poisson

Poisson(λ): modela el número de eventos raros en un intervalo. \[ f_X(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = \lambda\), \(\operatorname{var}(X) = \lambda\)
Aproximación binomial: Si \(n\) grande y \(p\) pequeño, \(\text{Bin}(n,p) \approx \text{Po}(np)\)

Simulador Poisson y aproximación Binomial

4.0
Aproximación Poisson a Binomial \[ \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \approx \frac{(np)^x e^{-np}}{x!}, \quad n \to \infty, p \to 0, np = \lambda \] En la simulación se compara la distribución empírica con la teórica Poisson.

Ejemplo del PDF (conglomeración de gente): λ=4 personas/2m²
\(\mathbb{P}(X=0)=e^{-4}=0.0183\)
En 4m², λ=8, \(\mathbb{P}(Y \ge 3)=1-\sum_{k=0}^{2} e^{-8}8^k/k! = 0.986\)

¿Por qué la media y varianza son iguales en Poisson? Es una propiedad característica de la distribución Poisson. En la práctica, si la media muestral y la varianza muestral son muy diferentes, es probable que los datos no sigan una distribución Poisson.

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 14, ej. 6) Sea \(Y\sim\text{Poisson}(\lambda)\). Si se sabe que \(\mathbb{P}(Y=0)=\mathbb{P}(Y=1)\), encuentre \(\lambda\) y calcule \(\mathbb{P}(Y=2)\). Igualando las probabilidades: \[ e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \implies \lambda = 1. \] Entonces \[ \mathbb{P}(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{1^2 e^{-1}}{2} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.18394. \]

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