Chebyshev Unilateral (Cantelli)
La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola:
\[
\mathbb{P}(X - \mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}, \quad a > 0
\]
Análogamente, \(\mathbb{P}(X - \mu \le -a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\).
Comparación: Chebyshev bilateral vs unilateral
0
1.0
2.0
Ejemplo del PDF (reparación de máquina):
Tiempo medio: \(\mu = 6.2\) h, desviación \(\sigma = 3.52\) h.
Empleado nuevo tarda 22.5 h → \(a = 16.3\).
¡Solo 4.46% de probabilidad! → El empleado probablemente necesita entrenamiento.
¿Por qué la cota unilateral es más ajustada que la bilateral?
La cota bilateral \(\mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \sigma^2/a^2\) considera ambas colas. Para una cola, la probabilidad es aproximadamente la mitad, y la cota unilateral \(\sigma^2/(\sigma^2+a^2)\) es más pequeña (mejor) que \(\sigma^2/a^2\) cuando \(a\) es grande.Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 7) Sea \(Y\) variable aleatoria tal que \(\mu = 11\) y \(\sigma^2 = 9\). (a) Aproxime \(\mathbb{P}(6 < Y < 16)\). (b) Encuentre \(c\) tal que \(\mathbb{P}(|Y - \mu| > c) = 0.09\).
(a) El intervalo \((6,16)\) es \(\mu \pm 5\), con \(\sigma=3\) esto es \(k=5/3\). Por Chebyshev bilateral, \(\mathbb{P}(|Y-11|<5) \ge 1 - \frac{9}{25} = 0.64\).(b) Se busca \(c\) tal que \(\sigma^2/c^2 = 0.09\), es decir \(c^2 = 9/0.09 = 100\), así \(c=10\).
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