El valor esperado o media de una v.a. es:
\[
\mathbb{E}[X] = \begin{cases}
\sum_{x_i} x_i f_X(x_i) & \text{(discreto)} \\
\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx & \text{(continuo)}
\end{cases}
\]
Interpretación: centro de masa de la distribución.
Si \(P(X = c) = 1\), entonces \(\mathbb{E}[X] = c\)
\(|\mathbb{E}[X]| \le \mathbb{E}[|X|]\)
¿Puede una v.a. no tener valor esperado?
¡Sí! La distribución Cauchy es el ejemplo clásico. Su densidad es \(f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]\) y la integral \(\int |x|f(x)dx\) diverge. ¡No tiene media!
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 10, ej. 1) Calcule la esperanza de la variable aleatoria \(X\) con función de probabilidad: \(x=-2,-1,0,1,2\) con \(f(x)=1/8, 2/8, 1/8, 2/8, 2/8\) respectivamente.
\[
\mathbb{E}[X] = (-2)\tfrac18+(-1)\tfrac28+(0)\tfrac18+(1)\tfrac28+(2)\tfrac28 = \frac{-2-2+0+2+4}{8} = \frac{2}{8} = 0.25.
\]
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