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Distribuciones Cauchy y Beta

Cauchy(α,β): \(f(x)=\frac{1}{\pi\beta[1+((x-\alpha)/\beta)^2]}\) — ¡No tiene momentos!
Beta(α₁,α₂): \(f(x)=\frac{1}{B(\alpha_1,\alpha_2)}x^{\alpha_1-1}(1-x)^{\alpha_2-1}\), \(0\le x\le1\)

Explorador de Cauchy y Beta

Beta Uniforme: Si α₁=α₂=1, Beta(1,1) = Uniforme(0,1)
Media Beta: \(\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}\)

Ejercicio

Sea \(X\sim\text{Beta}(\alpha_1=2,\alpha_2=3)\). Calcule \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\). Usando \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}\): \[ \mathbb{E}[X] = \frac{2}{2+3} = 0.4. \] Para la varianza se usa la fórmula \(\operatorname{var}(X)=\dfrac{\alpha_1\alpha_2}{(\alpha_1+\alpha_2)^2(\alpha_1+\alpha_2+1)}\): \[ \operatorname{var}(X) = \frac{2\cdot3}{5^2\cdot6} = \frac{6}{150} = 0.04. \] Nótese que a diferencia de la Cauchy, la Beta sí tiene todos sus momentos finitos porque su soporte \([0,1]\) es acotado.

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