Función de Probabilidad Acumulada (FPA)
La función de distribución de una variable aleatoria \(X\) es:
\[
F_X(x) = \mathbb{P}(X \le x), \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]
Propiedades:
- No decreciente: \(x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \le F(x_2)\)
- \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 1\)
- Continua por la derecha: \(F(x^+) = F(x)\)
Visualización: FPA de una v.a. discreta (Geométrica)
0.30
Relación entre FPA y f.m.p.:
\[ F_X(x) = \sum_{x_i \le x} f_X(x_i), \qquad f_X(x) = F_X(x) - F_X(x^-) \]Para v.a. continua: \(F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du\)
¿Por qué la FPA es continua por la derecha pero no necesariamente por la izquierda?
Porque \(F(x) = \mathbb{P}(X \le x)\). El salto en \(x_0\) es exactamente \(\mathbb{P}(X = x_0)\). La continuidad por la derecha se debe a que el límite cuando \(x \to x_0^+\) incluye el punto \(x_0\), mientras que el límite por la izquierda no.Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 7, ej. 2) Se lanza una moneda tres veces. Sea \(X\) el número de águilas. Determine (a) el espacio muestral \(\Omega\), (b) la función de masa de probabilidades, (c) la función de distribución, y verifique que es efectivamente una f.p.a.
(a) \(\Omega=\{AAA,AAS,ASA,SAA,ASS,SAS,SSA,SSS\}\) (8 resultados igualmente probables).(b) \(f_X(0)=1/8\), \(f_X(1)=3/8\), \(f_X(2)=3/8\), \(f_X(3)=1/8\).
(c) \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1/8 & 0\le x<1 \\ 4/8 & 1\le x<2 \\ 7/8 & 2\le x<3 \\ 1 & x\ge3 \end{cases} \] Es no decreciente, \(\lim_{x\to-\infty}F(x)=0\), \(\lim_{x\to\infty}F(x)=1\), y es constante por tramos con saltos exactamente en los puntos de masa — continua por la derecha en cada salto. Cumple las propiedades de una f.p.a. legítima.
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