Weibull(α,β): \(f(w)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{w}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(w/\beta)^\alpha}\), α>1 tasa creciente Lognormal(μ,σ): \(f(y)=\frac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\ln y-\mu)^2/(2\sigma^2)}\), ¡todos los momentos pero sin FGM! Laplace(μ,β): \(f(x)=\frac{1}{2\beta}e^{-|x-\mu|/\beta}\) (doble exponencial) Pareto(α,β): \(f(w)=\alpha\beta^\alpha w^{-(\alpha-1)}\), α>1 para media finita
Explorador de distribuciones
¿Qué distribución NO tiene función generadora de momentos?
La Lognormal y la Cauchy no tienen FGM. La Lognormal tiene todos los momentos finitos pero la integral \(\int e^{tx}f(x)dx\) diverge. La Cauchy ni siquiera tiene media.
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 15, ej. 3) Sea \(X\) con distribución Weibull(α,λ) con densidad \(f(x)=\lambda\alpha(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-(\lambda x)^\alpha}\), \(x>0\). Verifique que su función de distribución acumulada es \(F(x)=1-e^{-(\lambda x)^\alpha}\) para \(x>0\).
Integramos la densidad desde 0 hasta \(x\):
\[
F(x) = \int_0^x \lambda\alpha(\lambda t)^{\alpha-1}e^{-(\lambda t)^\alpha}\,dt.
\]
Sea \(u=(\lambda t)^\alpha\), de modo que \(du = \lambda\alpha(\lambda t)^{\alpha-1}\,dt\) — exactamente el resto del integrando. Cuando \(t=0\), \(u=0\); cuando \(t=x\), \(u=(\lambda x)^\alpha\). Entonces:
\[
F(x) = \int_0^{(\lambda x)^\alpha} e^{-u}\,du = \Big[-e^{-u}\Big]_0^{(\lambda x)^\alpha} = 1 - e^{-(\lambda x)^\alpha}.
\]
Esto confirma la fórmula, y muestra que la sustitución \(u=(\lambda t)^\alpha\) convierte la integral en la de una Exponencial(1) — la misma técnica usada para simular Weibull a partir de una uniforme mediante la transformada inversa.
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