Cálculo de Probabilidades I

Un experimento aleatorio es aquel cuya salida varía de manera impredecible. El espacio muestr...

Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\) es una función que asigna números reales a eventos,...

De los axiomas se derivan propiedades útiles: \[ \begin{aligned} & \mathbb{P}(A^C) = 1 - \mat...

En un espacio uniforme, todos los resultados son igualmente probables. \[ \mathbb{P}(A) = \fr...

En muchos casos, los resultados no son igualmente probables. Por ejemplo: Una moneda cargada...

El teorema de continuidad establece que la probabilidad es una función continua respecto a su...

Muestreo con reemplazo: \( \#\Omega = n^r \) (cada extracción es independiente) Muestreo sin ...

El coeficiente binomial cuenta el número de formas de elegir \(r\) objetos de \(n\) sin impor...

Para una población de \(N\) elementos con \(K\) "éxitos", la probabilidad de obtener \(k\) éx...

Principio de Inclusión-Exclusión: \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1...

Se lanzan \(n\) bolas en \(r\) cajas al azar. La probabilidad de que exactamente \(k\) cajas ...

Un problema clásico de combinatoria: se tienen \(2n\) extremos de estambre (\(n\) estambres) ...

De la definición de probabilidad condicional: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B)\mathb...

\(A\) y \(B\) son independientes si: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \] ...

Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una partición de \(\Omega\), entonces: \[ \mathbb{P}(A) =...

La regla de Bayes permite actualizar probabilidades a la luz de nueva información: \[ \mathbb...

Los momios de un evento \(A\) son: \[ \text{Odds}(A) = \frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A^C)} ...

La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) (con \(\mathbb{P}(B) > 0\)) es: \[ \mathbb{P}...

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado de un experi...

Distribución Geométrica: \(f_Y(y) = p(1-p)^{y-1}\), \(y = 1,2,3,\ldots\) (número de ensayos h...

La función de distribución de una variable aleatoria \(X\) es: \[ F_X(x) = \mathbb{P}(X \le x...

Una v.a. es continua si su función de distribución es continua en todo \(\mathbb{R}\). Su fun...

La función de supervivencia es: \[ G_T(t) = \mathbb{P}(T > t) = 1 - F_T(t), \quad t \in \math...

Del PDF: \(f_W(w) = w\mathbb{1}_{(0,1]}(w) + (2-w)\mathbb{1}_{(1,2]}(w)\) \[ F_W(w) = \begin{...

El p-ésimo cuantil \(x_p\) es el valor que satisface: \[ x_p = \min\{x \in \mathbb{R} : p \le...

El valor esperado o media de una v.a. es: \[ \mathbb{E}[X] = \begin{cases} \sum_{x_i} x_i f_X...

El Teorema del Estadístico Inconsciente (TEI) o LOTUS permite calcular \(\mathbb{E}[g(X)]\) s...

Varianza: \(\operatorname{var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2] - \mu^2\) Desvi...

Coeficiente de asimetría (Fisher-Pearson): \[ \eta_3 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\...

La esperanza condicional dado un evento \(B\) (con \(\mathbb{P}(B) > 0\)) es: \[ \mathbb{E}[X...

La función generadora de momentos (FGM) de una v.a. \(X\) es: \[ m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] ...

Propiedades clave: Transformación lineal: \(m_{a+bX}(t) = e^{at} m_X(bt)\) Teorema de unicid...

Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t) \] Esto permite enco...

¿Los momentos determinan la distribución? NO. Existen distribuciones distintas con los mismos...

La función característica de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \math...

Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\...

Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonc...

La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola: \[ ...

Definición: una función \(h\) continua en \(\mathbb{R}\) se dice convexa si para todo \(x_0\i...

Bernoulli(p): \(X \in \{0,1\}\), \(f(x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\operatornam...

Geométrica(p): número de fracasos hasta el primer éxito. \[ f_X(x) = p(1-p)^x, \quad x=0,1,2,...

Binomial Negativa(r,p): número de fracasos hasta el r-ésimo éxito. \[ f_X(x) = \binom{r+x-1}{...

Poisson(λ): modela el número de eventos raros en un intervalo. \[ f_X(x) = \frac{\lambda^x e^...

Hipergeométrica(N, M, n): muestreo sin reemplazo. \[ f_X(x) = \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{...

Uniforme(a,b): \(f(x)=\frac{1}{b-a}\), \(\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}\), \(\operatorname{var}(...

Gamma(α, λ): \(f(y)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-\lambda y}\), \(y>...

Normal(μ, σ²): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\ri...

Cauchy(α,β): \(f(x)=\frac{1}{\pi\beta[1+((x-\alpha)/\beta)^2]}\) — ¡No tiene momentos! Beta(α...

Weibull(α,β): \(f(w)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{w}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(w/\beta)...