Teorema de Continuidad de la Probabilidad

El teorema de continuidad establece que la probabilidad es una función continua respecto a sucesiones monótonas de eventos: \[ \begin{aligned} \text{Si } A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots &\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \\ \text{Si } A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots &\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) \end{aligned} \] Es una consecuencia directa de los axiomas K2 y K3 (no un axioma adicional).

Visualización: Sucesión creciente de intervalos

Ejemplo: sucesión creciente

Para \(A_n = [0, n]\), tenemos \(A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots\) y \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [0, \infty)\). \[ \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \lim_{n\to\infty} (1 - e^{-\lambda n}) = 1 = \mathbb{P}([0, \infty)) \]

Ejercicio

Sea \(B_n = (0, 1/n)\) para \(n=1,2,\ldots\), una sucesión decreciente de eventos (\(B_1\supseteq B_2\supseteq\cdots\)) para una variable aleatoria \(X\) uniforme en \((0,1)\). Use el teorema de continuidad para encontrar \(\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(B_n)\).

Como \(X\sim\text{Unif}(0,1)\), \(\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(0<X<1/n) = 1/n\). La intersección \(\bigcap_{n=1}^\infty B_n = \emptyset\) (ningún punto \(x>0\) está en todos los \(B_n\), pues eventualmente \(1/n<x\)). Por el teorema de continuidad, \(\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0\), consistente con \(\lim_{n\to\infty} 1/n = 0\).

Revision #3
Created 2026-09-10 23:32:30 UTC by Cheque Soto
Updated 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto