\(A\) y \(B\) son independientes si:
\[
\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)
\]
Equivalentemente: \(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\) (si \(\mathbb{P}(B) > 0\)).
Verificador de independencia (dados)
Propiedades:
Si \(A\) y \(B\) son independientes, también lo son \(A\) y \(B^C\), \(A^C\) y \(B\), \(A^C\) y \(B^C\).
Si \(A, B, C\) son mutuamente independientes, entonces \(A\) es independiente de \(B \cup C\).
Independencia mutua \(\Rightarrow\) independencia por pares (el recíproco no es cierto).
¿Son independientes "sacar un As" y "sacar una espada" en una baraja?
\(\mathbb{P}(\text{As}) = 4/52 = 1/13\), \(\mathbb{P}(\text{Espada}) = 13/52 = 1/4\), \(\mathbb{P}(\text{As ∩ Espada}) = 1/52\). Como \(1/52 = (1/13) \times (1/4)\), ¡son independientes!
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 4, ej. 2) Si \(A\) y \(B\) son eventos independientes, demuestre que \(A\) y \(B^c\) son también independientes.
Como \(A = (A\cap B)\cup(A\cap B^c)\) y estos dos son ajenos, \(\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A\cap B) + \mathbb{P}(A\cap B^c)\). Despejando y usando independencia de \(A,B\):
\[
\mathbb{P}(A\cap B^c) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A)(1-\mathbb{P}(B)) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B^c).
\]
Por lo tanto \(A\) y \(B^c\) son independientes. (El mismo argumento aplicado de nuevo muestra que \(A^c\) y \(B^c\) también lo son.)
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