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Distribución Binomial Negativa

Binomial Negativa(r,p): número de fracasos hasta el r-ésimo éxito. \[ f_X(x) = \binom{r+x-1}{x} p^r (1-p)^x, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = r\frac{1-p}{p}\), \(\operatorname{var}(X) = r\frac{1-p}{p^2}\)
Caso particular: \(r=1\) → Geométrica.

Simulador Binomial Negativa

3 0.40

Ejemplo: Para r=3, p=0.4, \(\mathbb{E}[X]=3·0.6/0.4=4.5\), \(\operatorname{var}(X)=3·0.6/0.16=11.25\)

Ejercicio

Un vendedor tiene probabilidad 0.3 de cerrar una venta en cada visita, de forma independiente entre visitas. Si \(X\) es el número de visitas fallidas antes de lograr su tercera venta, encuentre \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\). Aquí \(X\sim\text{Binomial Negativa}(r=3, p=0.3)\). Usando las fórmulas: \[ \mathbb{E}[X] = r\frac{1-p}{p} = 3\cdot\frac{0.7}{0.3} = 7, \qquad \operatorname{var}(X) = r\frac{1-p}{p^2} = 3\cdot\frac{0.7}{0.09} \approx 23.33. \] En promedio, el vendedor necesitará 7 visitas fallidas (10 visitas en total) antes de lograr su tercera venta.

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