Desigualdad de Jensen

Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa, entonces

\[ \mathbb{E}[h(X)] \ge h(\mathbb{E}[X]) \]

Si \(h\) es cóncava, la desigualdad se invierte:

\[ \mathbb{E}[h(X)] \le h(\mathbb{E}[X]) \]

Demostración geométrica

Para una función convexa \(h\), existe una recta soporte \(\ell(x) = a + bx\) que pasa por \((\mathbb{E}[X], h(\mathbb{E}[X]))\) y satisface \(h(x) \ge \ell(x)\) para todo \(x\). Tomando esperanza: \[ \mathbb{E}[h(X)] \ge \mathbb{E}[\ell(X)] = a + b\mathbb{E}[X] = \ell(\mathbb{E}[X]) = h(\mathbb{E}[X]) \]

Ejemplo del PDF: \(X \sim \text{Unif}(0,1)\), \(h(x)=x^2\) (convexa).

\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{2}, \quad h(\mathbb{E}[X]) = \frac{1}{4} \] \[ \mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \ge 0.25 \]

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 12) Sea \(X\) variable aleatoria no negativa con \(\mathbb{E}(X) = 10\). ¿Qué puede concluir de las siguientes cantidades? (a) \(\mathbb{E}\left[\frac{1}{X+1}\right]\). (b) \(\mathbb{E}\left[e^{1/(X+1)}\right]\). (c) \(\mathbb{E}[\ln(\sqrt{X})]\).

(a) \(h(x)=1/(x+1)\) es convexa para \(x\ge0\), así que por Jensen \(\mathbb{E}[1/(X+1)] \ge 1/(\mathbb{E}[X]+1) = 1/11\).
(b) \(h(x)=e^{1/(x+1)}\) es composición de una función convexa decreciente (\(1/(x+1)\)) con la exponencial (convexa creciente), por lo que sigue siendo convexa; entonces \(\mathbb{E}[e^{1/(X+1)}] \ge e^{1/11}\).
(c) \(h(x)=\ln(\sqrt{x}) = \tfrac12\ln x\) es cóncava, así que la desigualdad se invierte: \(\mathbb{E}[\ln(\sqrt{X})] \le \ln(\sqrt{10})\).