Propiedades de la Probabilidad
De los axiomas se derivan propiedades útiles:
\[
\begin{aligned}
& \mathbb{P}(A^C) = 1 - \mathbb{P}(A) \\
& \mathbb{P}(\emptyset) = 0 \\
& \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\
& \text{Si } A \subseteq B, \text{ entonces } \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)
\end{aligned}
\]
Verificación: Inclusión-Exclusión con dados
Desigualdad de Boole:
\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i) \]Desigualdad de Bonferroni:
\[ \mathbb{P}(A \cap B) \ge \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - 1 \]Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 2, ej. 9) Sean \(A,B,C\) tres eventos en el espacio muestral \(\Omega\), con \(A\cup B\cup C=\Omega\), \(\mathbb{P}(A)=1/2\), \(\mathbb{P}(B)=2/3\), \(\mathbb{P}(A\cup B)=5/6\). (a) Calcule \(\mathbb{P}(A\cap B)\). (b) Si además \(\mathbb{P}(C\cap(A\cup B))=5/12\), halle \(\mathbb{P}(C)\).
(a) Por inclusión-exclusión, \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cup B) = \tfrac12+\tfrac23-\tfrac56 = \tfrac13\).(b) Como \(A\cup B\cup C=\Omega\), \(\mathbb{P}(C\cup(A\cup B))=1\); por inclusión-exclusión, \(1 = \mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(A\cup B)-\mathbb{P}(C\cap(A\cup B)) = \mathbb{P}(C)+\tfrac56-\tfrac{5}{12}\), de donde \(\mathbb{P}(C) = 1 - \tfrac56+\tfrac{5}{12} = \tfrac{7}{12}\).
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