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Desigualdad de Chebyshev

Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Equivalentemente, para \(k > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \quad \mathbb{P}(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \]

Visualización: Cota de Chebyshev vs probabilidad real

2.0
Demostración Sea \(Y = (X - \mu)^2 \ge 0\). Aplicando Markov a \(Y\) con \(c = \epsilon^2\): \[ \mathbb{P}((X-\mu)^2 \ge \epsilon^2) \le \frac{\mathbb{E}[(X-\mu)^2]}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Como \(\{(X-\mu)^2 \ge \epsilon^2\} = \{|X-\mu| \ge \epsilon\}\), se obtiene el resultado.

Ejemplo del PDF (tienda): Número de clientes por día: media 20, desviación 2.

\[ \mathbb{P}(17 \le X \le 23) = \mathbb{P}(|X-20| < 3) \ge 1 - \frac{4}{9} \approx 0.5556 \]

Con \(k=2\) (2 desviaciones): \(\mathbb{P}(|X-20| < 4) \ge 1 - 1/4 = 0.75\)

¿La cota de Chebyshev es siempre ajustada? No, generalmente es conservadora. Pero puede alcanzarse, como en la distribución discreta del PDF con \(P(X=-1)=1/8, P(X=0)=6/8, P(X=1)=1/8\), donde \(\mathbb{P}(|X| \ge 1) = 1/4\) y la cota de Chebyshev es exactamente \(1/4\).

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 5) La casa de monedas produce monedas de 10 centavos con un promedio de 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01 pulgadas. Con la desigualdad de Chebyshev, encuentre una cota inferior para el número de monedas de un lote de 400 monedas que se espera que tengan un diámetro entre 0.48 y 0.52 pulgadas. El intervalo \((0.48, 0.52)\) es \(\mu \pm 2\sigma\) (pues \(2\sigma = 0.02\)), así que \(k=2\). Por Chebyshev, \(\mathbb{P}(|X-\mu|<2\sigma) \ge 1 - 1/4 = 3/4\). De 400 monedas, se espera entonces que al menos \(400 \times 3/4 = 300\) tengan diámetro en ese rango.

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