Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\). Entonces, para todo \(c > 0\):
\[
\mathbb{P}(X \ge c) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{c} = \frac{\mu_X}{c}
\]
Demostración (caso continuo)
\[
\mu_X = \int_0^\infty x f(x) dx \ge \int_c^\infty x f(x) dx \ge c \int_c^\infty f(x) dx = c \cdot \mathbb{P}(X \ge c)
\]
Por lo tanto, \(\mathbb{P}(X \ge c) \le \mu_X / c\).
Ejemplo: Si el tiempo medio de reparación es 6.2 horas, la probabilidad de que una reparación tome más de 22.5 horas es:
\[
\mathbb{P}(X \ge 22.5) \le \frac{6.2}{22.5} \approx 0.2756
\]
¿Por qué Markov solo funciona para variables no negativas?
La demostración usa que \(x \ge c\) dentro de la integral \(\int_c^\infty\). Si \(X\) pudiera tomar valores negativos, la desigualdad no se cumpliría (por ejemplo, una normal con media 0 daría \(\mathbb{P}(X \ge c) > 0\) pero el lado derecho sería 0).
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 13, ej. 3) Desigualdad de Chebyshev extendida: sea \(X\) variable aleatoria cualquiera y \(g\ge0\) una función no decreciente tal que \(\mathbb{E}[g(X)] < \infty\). Demuestre que para toda \(\varepsilon>0\),
\[
\mathbb{P}(X \ge \varepsilon) \le \frac{\mathbb{E}[g(X)]}{g(\varepsilon)}
\]
Como \(g\) es no decreciente, \(X\ge\varepsilon \Rightarrow g(X)\ge g(\varepsilon)\), así que \(\{X\ge\varepsilon\}\subseteq\{g(X)\ge g(\varepsilon)\}\) y por lo tanto \(\mathbb{P}(X\ge\varepsilon)\le\mathbb{P}(g(X)\ge g(\varepsilon))\). Aplicando Markov a la variable no negativa \(g(X)\) con umbral \(g(\varepsilon)\): \(\mathbb{P}(g(X)\ge g(\varepsilon)) \le \mathbb{E}[g(X)]/g(\varepsilon)\). Esta es precisamente la desigualdad de Markov (\(g(x)=x\)) cuando \(g\) es la identidad, y de aquí también se deduce Chebyshev tomando \(g(x)=x^2\).
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