La regla de Bayes permite actualizar probabilidades a la luz de nueva información:
\[
\mathbb{P}(B_k|A) = \frac{\mathbb{P}(A|B_k)\mathbb{P}(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)}
\]
Demostración
\[
\mathbb{P}(B_k|A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B_k)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(A|B_k)\mathbb{P}(B_k)}{\sum_i \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)}
\]
Ejemplo del PDF (prueba de embarazo):
P(E)=0.6, falso positivo=10%, falso negativo=20%.
Con dos pruebas positivas independientes: P(E|Pos₁∩Pos₂) ≈ 0.99
¿Por qué una prueba con 99% de precisión puede dar falsos positivos frecuentes?
Si la enfermedad es rara (ej. 0.1% de prevalencia), aunque la prueba sea muy precisa, la mayoría de los positivos serán falsos. Por ejemplo: con prevalencia 0.001, sensibilidad 0.99 y especificidad 0.99, \(P(E|Pos)\) es solo ≈ 0.09. ¡Solo el 9% de los positivos son verdaderos!
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 5, ej. 3) Una prueba de laboratorio detecta COVID-19, que padece el 1% de la población. Si la persona está enferma, la prueba es positiva con probabilidad 0.98. Si no está enferma, la prueba da negativo con probabilidad 0.95. Si se selecciona a una persona al azar, se le aplica la prueba y resulta positiva, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?
Sea \(E\)="enferma", \(\text{Pos}\)="prueba positiva". Se tiene \(\mathbb{P}(E)=0.01\), \(\mathbb{P}(\text{Pos}|E)=0.98\), \(\mathbb{P}(\text{Pos}|E^c) = 1-0.95 = 0.05\). Por Bayes:
\[
\mathbb{P}(E|\text{Pos}) = \frac{0.98(0.01)}{0.98(0.01) + 0.05(0.99)} = \frac{0.0098}{0.0098+0.0495} \approx 0.165.
\]
Aunque la prueba parece precisa, como la enfermedad es poco común, solo el 16.5% de los resultados positivos corresponden a personas realmente enfermas.
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