Función Característica (FC)

La función característica de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)] \] Siempre existe para todo \(t \in \mathbb{R}\).

Comparativa: FGM vs FC

Relación FGM ↔ FC: Si la FGM existe, entonces \(\varphi_X(t) = m_X(it)\).
Propiedad de simetría: Si la distribución es simétrica alrededor de 0, \(\varphi_X(t)\) es real.
Ejemplos: Normal(0,1) → \(\varphi(t) = e^{-t^2/2}\); Cauchy(0,1) → \(\varphi(t) = e^{-|t|}\).

¿Por qué la función característica siempre existe? Porque \(|e^{itX}| = |\cos(tX) + i\sin(tX)| = 1\) para todo \(t, X\). Por lo tanto, \(|\varphi_X(t)| \le \mathbb{E}[|e^{itX}|] = 1\), y la integral o suma converge absolutamente.

Ejercicio

Usando la relación \(\varphi_X(t) = m_X(it)\) y la FGM de Poisson(λ), \(m_N(t)=e^{\lambda(e^t-1)}\), encuentre la función característica de Poisson(λ). Sustituyendo \(t\) por \(it\) en la FGM: \[ \varphi_N(t) = m_N(it) = e^{\lambda(e^{it}-1)}. \] A diferencia de la FGM, esta expresión está bien definida para todo \(t\in\mathbb{R}\) real, ya que \(e^{it}\) siempre tiene módulo 1 (no hay problema de divergencia como en la Lognormal).
Revision #2
Created 2026-09-11 00:23:29 UTC by Cheque Soto
Updated 2026-09-11 17:42:36 UTC by Cheque Soto