La **función característica** de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)] \] **Siempre existe** para todo \(t \in \mathbb{R}\).

#### Comparativa: FGM vs FC

Distribución:

**Relación FGM ↔ FC:** Si la FGM existe, entonces \\(\\varphi\_X(t) = m\_X(it)\\). **Propiedad de simetría:** Si la distribución es simétrica alrededor de 0, \\(\\varphi\_X(t)\\) es real. Ejemplos: Normal(0,1) → \\(\\varphi(t) = e^{-t^2/2}\\); Cauchy(0,1) → \\(\\varphi(t) = e^{-|t|}\\).

**¿Por qué la función característica siempre existe?**

Porque \\(|e^{itX}| = |\\cos(tX) + i\\sin(tX)| = 1\\) para todo \\(t, X\\). Por lo tanto, \\(|\\varphi\_X(t)| \\le \\mathbb{E}\[|e^{itX}|\] = 1\\), y la integral o suma converge absolutamente.

## Ejercicio

Usando la relación \\(\\varphi\_X(t) = m\_X(it)\\) y la FGM de Poisson(λ), \\(m\_N(t)=e^{\\lambda(e^t-1)}\\), encuentre la función característica de Poisson(λ).

Sustituyendo \\(t\\) por \\(it\\) en la FGM: \\\[ \\varphi\_N(t) = m\_N(it) = e^{\\lambda(e^{it}-1)}. \\\] A diferencia de la FGM, esta expresión está bien definida para todo \\(t\\in\\mathbb{R}\\) real, ya que \\(e^{it}\\) siempre tiene módulo 1 (no hay problema de divergencia como en la Lognormal).