Distribuciones Cauchy y Beta

Cauchy(α,β): \(f(x)=\frac{1}{\pi\beta[1+((x-\alpha)/\beta)^2]}\) — ¡No tiene momentos! 
 Beta(α₁,α₂): \(f(x)=\frac{1}{B(\alpha_1,\alpha_2)}x^{\alpha_1-1}(1-x)^{\alpha_2-1}\), \(0\le x\le1\)
 

 
 Explorador de Cauchy y Beta 
 
 Distribución: 
 
 Cauchy(0,1) 
 Beta(α₁,α₂) 
 
 
 Graficar 
 
 
 
 

 Beta Uniforme: Si α₁=α₂=1, Beta(1,1) = Uniforme(0,1) 
 Media Beta: \(\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}\) 

 Ejercicio 

 
 Sea \(X\sim\text{Beta}(\alpha_1=2,\alpha_2=3)\). Calcule \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\). 
Usando \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{\alpha_1}{\alpha_1+\alpha_2}\):
\[
\mathbb{E}[X] = \frac{2}{2+3} = 0.4.
\]
Para la varianza se usa la fórmula \(\operatorname{var}(X)=\dfrac{\alpha_1\alpha_2}{(\alpha_1+\alpha_2)^2(\alpha_1+\alpha_2+1)}\):
\[
\operatorname{var}(X) = \frac{2\cdot3}{5^2\cdot6} = \frac{6}{150} = 0.04.
\]
Nótese que a diferencia de la Cauchy, la Beta sí tiene todos sus momentos finitos porque su soporte \([0,1]\) es acotado.