# Transformaciones

Muchas funciones se parecen entre sí: cambian de lugar horizontal o verticalmente, se estiran, se voltean, pero conservan su forma básica.

En esta sección exploraremos cómo una gráfica conocida puede transformarse en muchas otras. Partiremos de una función base y analizaremos qué ocurre al modificar distintos parámetros.

Sea \\(g(x)=b\*f(a(x-h))+k\\), los parámetros \\(a\\), \\(b\\), \\(h\\) y \\(k\\) modifican la gráfica de \\(f\\) de distintas maneras. Trabajaremos con este applet en cuatro etapas, enfocándonos en un parámetro distinto en cada una.

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**Etapa 1: efecto de los parámetros \\(h\\) y \\(k\\):**

Fija \\(a=1\\) y \\(b=1\\)

- Mueve el parámetro \\(h\\), ¿la gráfica se mueve a la izquierda o a la derecha?
- Mueve el parámetro \\(k\\), ¿qué ocurre verticalmente?, ¿la forma de la gráfica cambia?

Al movimiento que ocurre cuando movemos \\(h\\) se le llama una **translación horizontal**, y al movimiento que ocurre cuando movemos \\(k\\), una **translación vertical.**

**Etapa 2: efecto en el parámetro \\(b\\):**

Fija \\(h=0\\) y \\(k=0\\)

- Cambia \\(b\\), con \\(b&gt;0\\), ¿la gráfica se vuelve más empinada (más empinada=mayor pendiente) o más plana?
- Cambia \\(b\\), con \\(b&lt;0\\), ¿qué ocurre con la gráfica?

Este tipo de cambio se llama **estiramiento vertical** y cuando \\(b&lt;0\\), como **reflexión vertical.**

**Etapa 3: efecto en el parámetro \\(a\\):**

Fija \\(b=1\\), \\(h=0\\) y \\(k=0\\)

- Cambia \\(a\\), ¿la gráfica se "compacta" o se "estira" horizontalmente?
- Compara con lo que ocurre cuando cambias \\(b\\).
- ¿Por qué cambiar \\(a\\) afecta la gráfica de manera distinta a cambiar \\(b\\)?

Aunque la función original no cambió, su gráfica puede moverse, estirarse o reflejarse al modificar los parámetros. Las transformaciones permiten generar muchas gráficas a partir de una sola función base.

**Actividad:** Hasta ahora hemos trabajado con una función específica para entender el efecto de cada parámetro. Ahora explora qué ocurre cuando cambias la función base \\(f(x)\\).

Sugerencia de funciones para probar:

- \\(f(x)=2\\sqrt{1-x}\\)
- \\(f(x)=\\frac{1}{x+3}\\)
- \\(f(x)=-x^2+1\\)
- \\(f(x)=-4x-3\\)

Con esas funciones observa:

- ¿qué transformación (o transformaciones) cambian el dominio de la función?
- ¿y el rango?