# Propiedades de la Probabilidad

<div class="taller" data-applet="cpi-ep-propiedades" id="bkmrk-de-los-axiomas-se-de"><div class="taller-container"><div class="callout info">De los axiomas se derivan propiedades útiles: \[ \begin{aligned} &amp; \mathbb{P}(A^C) = 1 - \mathbb{P}(A) \\ &amp; \mathbb{P}(\emptyset) = 0 \\ &amp; \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ &amp; \text{Si } A \subseteq B, \text{ entonces } \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B) \end{aligned} \] </div><div class="card">#### Verificación: Inclusión-Exclusión con dados

<div class="taller-controles"><label>Evento A:</label><select id="bkmrk-cpi-espacios-probabilidad-evento-a"><option value="par">X es par</option><option value="mayor4">X &gt; 4</option><option value="primo">X es primo</option></select><label>Evento B:</label><select id="bkmrk-cpi-espacios-probabilidad-evento-b"><option value="par">X es par</option><option value="mayor4">X &gt; 4</option><option value="primo">X es primo</option></select><button class="button" id="bkmrk-cpi-espacios-probabilidad-verificar-inclusion">Verificar</button></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpi-espacios-probabilidad-inclusion-resultado"></div></div>**Desigualdad de Boole:**

\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \le \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_i) \] **Desigualdad de Bonferroni:**

\[ \mathbb{P}(A \cap B) \ge \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - 1 \] ## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 2, ej. 9) Sean \\(A,B,C\\) tres eventos en el espacio muestral \\(\\Omega\\), con \\(A\\cup B\\cup C=\\Omega\\), \\(\\mathbb{P}(A)=1/2\\), \\(\\mathbb{P}(B)=2/3\\), \\(\\mathbb{P}(A\\cup B)=5/6\\). (a) Calcule \\(\\mathbb{P}(A\\cap B)\\). (b) Si además \\(\\mathbb{P}(C\\cap(A\\cup B))=5/12\\), halle \\(\\mathbb{P}(C)\\).</summary>

(a) Por inclusión-exclusión, \\(\\mathbb{P}(A\\cap B)=\\mathbb{P}(A)+\\mathbb{P}(B)-\\mathbb{P}(A\\cup B) = \\tfrac12+\\tfrac23-\\tfrac56 = \\tfrac13\\).  
(b) Como \\(A\\cup B\\cup C=\\Omega\\), \\(\\mathbb{P}(C\\cup(A\\cup B))=1\\); por inclusión-exclusión, \\(1 = \\mathbb{P}(C)+\\mathbb{P}(A\\cup B)-\\mathbb{P}(C\\cap(A\\cup B)) = \\mathbb{P}(C)+\\tfrac56-\\tfrac{5}{12}\\), de donde \\(\\mathbb{P}(C) = 1 - \\tfrac56+\\tfrac{5}{12} = \\tfrac{7}{12}\\). </details></div></div>