**Poisson(λ):** modela el número de eventos raros en un intervalo. \[ f_X(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = \lambda\), \(\operatorname{var}(X) = \lambda\) **Aproximación binomial:** Si \(n\) grande y \(p\) pequeño, \(\text{Bin}(n,p) \approx \text{Po}(np)\)

#### Simulador Poisson y aproximación Binomial

λ:4.0Comparar con Binomial:

Aproximación Poisson a Binomial

\\\[ \\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \\approx \\frac{(np)^x e^{-np}}{x!}, \\quad n \\to \\infty, p \\to 0, np = \\lambda \\\] En la simulación se compara la distribución empírica con la teórica Poisson.

**Ejemplo del PDF (conglomeración de gente):** λ=4 personas/2m² \\(\\mathbb{P}(X=0)=e^{-4}=0.0183\\) En 4m², λ=8, \\(\\mathbb{P}(Y \\ge 3)=1-\\sum\_{k=0}^{2} e^{-8}8^k/k! = 0.986\\)

**¿Por qué la media y varianza son iguales en Poisson?**

Es una propiedad característica de la distribución Poisson. En la práctica, si la media muestral y la varianza muestral son muy diferentes, es probable que los datos no sigan una distribución Poisson.

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP1, sección 14, ej. 6) Sea \\(Y\\sim\\text{Poisson}(\\lambda)\\). Si se sabe que \\(\\mathbb{P}(Y=0)=\\mathbb{P}(Y=1)\\), encuentre \\(\\lambda\\) y calcule \\(\\mathbb{P}(Y=2)\\).

Igualando las probabilidades: \\\[ e^{-\\lambda} = \\lambda e^{-\\lambda} \\implies \\lambda = 1. \\\] Entonces \\\[ \\mathbb{P}(Y=2) = \\frac{\\lambda^2 e^{-\\lambda}}{2!} = \\frac{1^2 e^{-1}}{2} = \\frac{e^{-1}}{2} \\approx 0.18394. \\\]