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Un vector aleatorio continuo puede tomar cualquier valor en una región del plano. Su comportamiento se describe mediante una función de densidad conjunta. Definición: Sea \((X,Y)\) v.a. tal que para todo \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) (conjuntos borel...

Dos variables \(X\) y \(Y\) son independientes si conocer el valor de una no aporta información sobre la otra. Definición: \(X_1,\dots,X_n\) se dicen variables aleatorias independientes si para cualesquiera conjuntos borelianos \(B_1,\dots,B_n\in\mathcal...

Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\). Entonces, para todo \(c > 0\): \[ \mathbb{P}(X \ge c) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{c} = \frac{\mu_X}{c} \] Verificación interactiva Distribución: Exponencial(λ...

Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Equivalentemente, para \(k > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| ...

La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola: \[ \mathbb{P}(X - \mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}, \quad a > 0 \] Análogamente, \(\mathbb{P}(X - \mu \le -a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\). ...

Definición: una función \(h\) continua en \(\mathbb{R}\) se dice convexa si para todo \(x_0\in\mathbb{R}\) existe una recta \(\ell(x) = a+bx\) que pasa por \((x_0, h(x_0))\) y queda por debajo de \(h(x)\); esto es, \(\ell(x)\le h(x)\) para todo \(x\in\math...

Un experimento aleatorio es aquel cuya salida varía de manera impredecible. El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todas las posibles salidas. Un evento es un subconjunto de \(\Omega\). Ejemplos de espacios muestrales Experimento: ...

Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\) es una función que asigna números reales a eventos, satisfaciendo los axiomas de Kolmogorov: \[ \begin{aligned} \text{K1:} & \quad \mathbb{P}(A) \ge 0 \quad \forall A \in \mathcal{F} \\ \text{K2:} & \quad \mathbb{P...

De los axiomas se derivan propiedades útiles: \[ \begin{aligned} & \mathbb{P}(A^C) = 1 - \mathbb{P}(A) \\ & \mathbb{P}(\emptyset) = 0 \\ & \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ & \text{Si } A \subseteq B, \text{ ent...

En un espacio uniforme, todos los resultados son igualmente probables. \[ \mathbb{P}(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \quad (\text{caso finito}), \qquad \mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \quad (\text{caso continuo}) \] Simulador: Problema de los dados (...

En muchos casos, los resultados no son igualmente probables. Por ejemplo: Una moneda cargada: \(\mathbb{P}(\text{sol}) = 2/3\), \(\mathbb{P}(\text{águila}) = 1/3\) Lanzar un dado hasta obtener un 5: \(\mathbb{P}(\{\omega_r\}) = (5/6)^{r-1}(1/6)\) Decaimie...

El teorema de continuidad establece que la probabilidad es una función continua respecto a sucesiones monótonas de eventos: \[ \begin{aligned} \text{Si } A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots &\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(A_n) = \mathbb{P}\left(\b...

Uniforme(a,b): \(f(x)=\frac{1}{b-a}\), \(\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}\), \(\operatorname{var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\) Exponencial(λ): \(f(t)=\lambda e^{-\lambda t}\), \(\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}\), \(\operatorname{var}(T)=\frac{1}{\lambda^2}\) Pérdida...

Gamma(α, λ): \(f(y)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-\lambda y}\), \(y>0\) \(\mathbb{E}[Y]=\frac{\alpha}{\lambda}=\alpha\beta\), \(\operatorname{var}(Y)=\frac{\alpha}{\lambda^2}=\alpha\beta^2\) Casos especiales: α=1 → Exponencial; α=n...

Normal(μ, σ²): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) \(\mathbb{E}[X]=\mu\), \(\operatorname{var}(X)=\sigma^2\) Regla empírica: μ±σ → 68%, μ±2σ → 95%, μ±3σ → 99.7% Calculadora Normal y aproximación Binomi...

Cauchy(α,β): \(f(x)=\frac{1}{\pi\beta[1+((x-\alpha)/\beta)^2]}\) — ¡No tiene momentos! Beta(α₁,α₂): \(f(x)=\frac{1}{B(\alpha_1,\alpha_2)}x^{\alpha_1-1}(1-x)^{\alpha_2-1}\), \(0\le x\le1\) Explorador de Cauchy y Beta Distribución: Cauchy(0,1) Beta(α₁,α...

Weibull(α,β): \(f(w)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{w}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(w/\beta)^\alpha}\), α>1 tasa creciente Lognormal(μ,σ): \(f(y)=\frac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\ln y-\mu)^2/(2\sigma^2)}\), ¡todos los momentos pero sin FGM! Laplace(μ,β):...

Bernoulli(p): \(X \in \{0,1\}\), \(f(x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\operatorname{var}(X)=p(1-p)\) Binomial(n,p): \(X = \sum_{i=1}^n Y_i\), \(f(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\), \(\mathbb{E}[X]=np\), \(\operatorname{var}(X)=np(1-p)\) Simulad...