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Teorema de Unicidad
El Teorema de Unicidad es fundamental: si dos variables aleatorias tienen la misma FGM en un entorno de 0, entonces tienen la misma distribución. \[ m_X(t) = m_Y(t) \quad \forall |t| < \delta \quad \Rightarrow \quad F_X = F_Y \] ¿Los momentos determinan ...
FGM Conjunta (Multivariada)
Para un vector aleatorio \((X,Y)\), la FGM conjunta es \[ m_{XY}(u,v) = \mathbb{E}[e^{uX + vY}] \] Propiedades: FGM marginales: \(m_X(u) = m_{XY}(u,0)\), \(m_Y(v) = m_{XY}(0,v)\) Momentos cruzados: \(\mathbb{E}[X^r Y^s] = \left. \frac{\partial^{r+s}}{\p...
Función Característica
La función característica (FC) se define como \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)] \] Ventaja fundamental: Siempre existe para todo \(t \in \mathbb{R}\), mientras que la FGM puede no existir. Relación FGM ↔...
Esperanza de funciones de vectores aleatorios
El Teorema del Estadístico Inconsciente (TEI) nos dice cómo calcular la esperanza de una función \(g(X,Y)\) sin necesidad de encontrar primero la distribución de \(g(X,Y)\). Simulador: Esperanza de funciones en dados Función g(X,Y): g(X,Y) = X + Y g(X...
Covarianza y Correlación
La covarianza mide la asociación lineal entre dos variables: \[ \operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] \] El coeficiente de correlación \(\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_...
Media y Varianza Muestral
Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \] Simulador: Comportamiento de la media muestral Distribució...
Vector de Medias y Matriz de Covarianzas
Para un vector aleatorio \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T\): \[ \boldsymbol{\mu} = \mathbb{E}[\mathbf{X}] = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}[(\mathbf{X}-\bol...
Sumas Aleatorias
Sea \(N\) una variable aleatoria entera no negativa, y \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. independientes de \(N\). Definimos la suma aleatoria: \[ S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N \] Simulador: Elevador con personas Número medio de personas (λ Poisson): 2.3 Pe...
Mezclas de Distribuciones
Una mezcla de distribuciones tiene densidad: \[ f_X(x) = \sum_{i=1}^k p_i f_i(x), \quad \text{con } p_i > 0, \sum p_i = 1 \] Es como elegir al azar de cuál distribución proviene la observación. Mezcla de dos normales (distribución contaminada) Probabil...
Caso discreto: masa condicional y regla de Bayes
Intuición: Cuando observamos un valor específico de una variable, actualizamos nuestra creencia sobre la otra. Por ejemplo, si lanzamos dos dados pero sabemos que el segundo dado (Y) es un número par, la probabilidad de que X sea 3 cambia. La función de ma...
Caso continuo: densidad condicional y ley del estadístico inconsciente
Intuición: En el mundo continuo, condicionar en un evento de probabilidad cero (Y=y) requiere límites. La densidad condicional \(f(x|y)\) es un "corte" de la superficie conjunta, normalizado. Piensa en la recta de regresión: la esperanza condicional \(E[X|...
Esperanza y varianza condicional: leyes de la probabilidad total
Intuición: La esperanza condicional \(E[Y|X]\) es una variable aleatoria que resume la tendencia de Y cuando conocemos X. La Ley de Esperanza Total dice que en promedio, la predicción condicional da la media global. La Ley de Varianza Total descompone la v...
Teorema de Probabilidad Total y regla de Bayes (discreto/continuo)
Intuición: El Teorema de Probabilidad Total nos permite obtener la distribución marginal a partir de las condicionales. La regla de Bayes invierte el condicionamiento: actualizamos nuestra creencia sobre un parámetro después de observar datos. Ejemplo: ...