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Funciones Trigonométricas en Cálculo
Muchas funciones en cálculo describen fenómenos que cambian de manera periódica. Oscilaciones, ondas, vibraciones y movimientos repetitivos aparecen naturalmente en modelos físicos, biológicos y económicos. Las funciones seno y coseno son fundamentales porqu...
Antiderivadas e integrales indefinidas
Distintas funciones pueden tener exactamente la misma derivada. Por ejemplo, todas las funciones de la forma: \(x^2 + C\) tienen derivada: \(2x\) Una antiderivada de \(f(x)\) es una función cuya derivada es \(f(x)\), es decir: \(F'(x)=f(x)\) Como las con...
La función logarítmica
A diferencia de muchas funciones conocidas, el logaritmo natural puede construirse directamente a partir de una integral. Su definición surge de estudiar cómo se acumula el área bajo la curva: \(y=\frac1x\) Definición: Definimos la función logarítmica natu...
La función exponencial
La función exponencial surge como la inversa del logaritmo natural. Si: \(y=\ln(x)\) entonces existe una función que “deshace” el logaritmo: \(x=e^y\) La función exponencial posee una propiedad extraordinaria: \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\) Es decir, la func...
Derivadas e integrales
Algunas funciones aparecen constantemente en cálculo porque sus derivadas e integrales conservan estructuras simples y útiles. Funciones trigonométricas: \((\sin x)'=\cos x\) \((\cos x)'=-\sin x\) \(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\) \(\int \cos x\,dx=\sin x+C\)...
Una propiedad fundamental del logaritmo
La definición del logaritmo como área acumulada permite descubrir propiedades sorprendentes. Una de las más importantes es que el logaritmo transforma productos en sumas Definimos \(A(x)=\int_1^x \frac1t\,dt\) Una consecuencia notable de esta definición e...
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Hasta ahora hemos utilizado la integral para calcular áreas y para reconstruir funciones a partir de sus tasas de cambio. Sin embargo, la idea de integración va mucho más allá de estos primeros ejemplos. Siempre que una cantidad pueda interpretarse como la a...
Área entre curvas
Ya sabemos cómo calcular el área bajo una curva. Pero muchas regiones de interés no están delimitadas por una función y el eje \(x\) sino por dos curvas distintas. ¿Cómo podemos calcular el área comprendida entre ellas? Supongamos que una región está limita...
Volúmenes de revolución
Ya sabemos cómo calcular áreas mediante integrales. Pero muchas veces una región plana puede utilizarse para construir un objeto tridimensional. ¿Cómo podemos calcular el volumen de ese sólido? Supongamos que la región bajo una curva \(y=f(x)\) gira alreded...
Valor promedio de una función
Cuando calculamos el promedio de varias cantidades, sumamos todos los valores y dividimos entre el número de observaciones. Pero ¿cómo podemos calcular el valor promedio de una función en un intervalo continuo? Si \(f(x)\) representa una cantidad que varía c...
Longitud de arco
Cuando una función representa una trayectoria o un camino, puede ser útil conocer su longitud. Por ejemplo, podríamos preguntarnos cuál es la distancia recorrida por un objeto que sigue una trayectoria curva o cuánto mide el borde de una región. ¿Cómo podemo...