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DERIVADAS
En muchos contextos no solo nos interesa conocer el valor de una función, sino también cómo cambia. Por ejemplo, podemos preguntar qué tan rápido se mueve un objeto, qué tan rápido crece una población o qué tan inclinada es una curva en un punto. En este capít...
El problema del cambio
Muchas cantidades en el mundo cambian constantemente. la velocidad de un automóvil la temperatura durante el día la altura de una pelota al ser lanzada el número de personas en una ciudad Las matemáticas pueden describir cuánto vale una cantidad en ca...
Rectas Secantes y cambio promedio
En la página anterior nos preguntamos cómo medir el cambio en un instante. Antes de responder eso, empecemos con algo más sencillo: ¿cómo medir el cambio entre dos puntos? Supongamos que una función describe la posición de un objeto en el tiempo. Si tomamos ...
Recta Tangente
En la página anterior vimos cómo una recta secante mide el cambio entre dos puntos. Pero surge una pregunta natural: ¿qué ocurre cuando esos dos puntos se acercan cada vez más? Al acercar los puntos, la recta secante parece estabilizarse. Esa recta especial...
Definición de Derivada
En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta especial: la recta tangente. Pero surge una pregunta: ¿cómo describir matemáticamente esa recta? Sabemos que la pendiente de la recta secante es: \(\frac{f(x_...
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Hasta ahora hemos construido la derivada a partir de la idea de cambio: primero como una razón de cambio promedio, luego como la pendiente de la recta tangente y, finalmente, como un límite. Pero surge una pregunta natural: ¿para qué sirve la derivada? En e...
¿Qué mide la derivada?
En el capítulo anterior definimos la derivada como la pendiente de la recta tangente. Pero ahora viene la pregunta más importante: ¿Qué mide la derivada? La derivada mide cómo cambia una función en un punto. Pero no cualquier cambio. Mide el cambio instant...
Crecimiento y Decrecimiento
Hasta ahora vimos que la derivada nos dice qué tan rápido cambia una función. Pero hay algo aún más importante: ¿la función está aumentando o disminuyendo? La derivada no solo mide rapidez. También nos dice la dirección del cambio. El signo de la pendient...
Máximos y Mínimos
Hay puntos especiales donde la derivada es cero.En esos puntos, la función deja de crecer o decrecer momentáneamente.Estos puntos se llaman puntos críticos. Pero surge una pregunta importante: Si una función deja de crecer y empieza a decrecer, ¿qué ocurre e...
Puntos críticos
Hasta ahora parece que cuando la derivada es cero, la función tiene un máximo o un mínimo, pero... ¿siempre es así? Veamos un ejemplo donde esto no ocurre.
Puntos críticos
Hasta ahora parece que cuando la derivada es cero, la función tiene un máximo o un mínimo, pero, ¿siempre es así? Veamos un ejemplo donde esto no ocurre. En ambos casos, la derivada en \(x=0\) es cero, sin embargo, el comportamiento de las funciones es dis...
CURVATURA DE LAS FUNCIONES
Hasta ahora hemos utilizado la derivada para entender cómo cambia una función:si crece, decrece o alcanza valores máximos o mínimos. Pero aún hay algo más por explorar. Podemos preguntarnos: ¿cómo cambia ese cambio? Es decir, no solo si una función sube o ...
¿Cómo se curva una función?
Hasta ahora hemos descrito si una función crece o decrece. Pero eso no cuenta toda la historia. Dos funciones pueden crecer y sin embargo verse completamente distintas. La diferencia está en cómo se curvan sus gráficas. Observa cómo cambia la forma de...
¿Qué nos dice la derivada sobre la curvatura?
Hasta ahora hemos descrito la curvatura de una función observando su gráfica. Pero surge una pregunta natural: ¿podemos entender esto usando la derivada? Observa la recta tangente al mover el punto. En algunos intervalos, la pendiente de la recta tangente...
La segunda derivada
En la página anterior vimos que la curvatura de una función está relacionada con cómo cambia su pendiente. Ahora vamos a describir esto usando derivadas. La derivada nos dice cuál es la pendiente de la función. Si queremos saber cómo cambia esa pendiente, n...
REGLAS DE DERIVACIÓN
En este capítulo veremos cómo calcular derivadas de forma sistemática. A partir de las ideas desarrolladas anteriormente, introduciremos reglas que permiten derivar funciones de manera eficiente.
¿Cómo calcular derivadas?
Hasta ahora hemos usado la derivada para entender cómo cambian las funciones. Pero surge una nueva pregunta: ¿cómo se calculan en la práctica? Existen reglas que nos permiten derivar funciones de manera directa. Algunas son muy simples, pero incluso las más...
Regla de la suma y constante
Las reglas más básicas permiten derivar sumas de funciones y constantes de manera directa. Regla de la suma: \((f+g)'=f'+g'\) Derivar una suma consiste en derivar cada término por separado. Regla de la constante: \((c)'=0\) \((cf)'=cf'\) Ejemplos: ...