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Variables Aleatorias Continuas
Una v.a. es continua si su función de distribución es continua en todo \(\mathbb{R}\). Su función de densidad (f.d.p.) satisface: \[ f_X(x) \ge 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1, \quad \mathbb{P}(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) dx \] Explo...
Función de Supervivencia y Pérdida de Memoria
La función de supervivencia es: \[ G_T(t) = \mathbb{P}(T > t) = 1 - F_T(t), \quad t \in \mathbb{R} \] La distribución exponencial tiene la propiedad de pérdida de memoria: \[ \mathbb{P}(T > t + s | T > s) = \mathbb{P}(T > t) \] Verificación: Pérdida de ...
Ejemplo: Distribución Triangular
Del PDF: \(f_W(w) = w\mathbb{1}_{(0,1]}(w) + (2-w)\mathbb{1}_{(1,2]}(w)\) \[ F_W(w) = \begin{cases} 0 & w < 0 \\ \frac{w^2}{2} & 0 \le w < 1 \\ -1 + 2w - \frac{w^2}{2} & 1 \le w < 2 \\ 1 & w \ge 2 \end{cases} \] Visualización: Densidad Triangular Simula...
Regla de la Multiplicación
De la definición de probabilidad condicional: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B)\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A) \] Generalización para \(n\) eventos: \[ \mathbb{P}(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = \mathbb{P}(A_1) \prod_{i=2}^{n} \mathbb{P}(A...
Independencia de Eventos
\(A\) y \(B\) son independientes si: \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \] Equivalentemente: \(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\) (si \(\mathbb{P}(B) > 0\)). Verificador de independencia (dados) Evento A: X es par X > 4 X = 3 Evento ...
Teorema de Probabilidad Total (TPT)
Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una partición de \(\Omega\), entonces: \[ \mathbb{P}(A) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) \] Simulador: Urnas con bolas Urna 1 - Blancas: 3 Urna 1 - Negras: 7 Urna 2 - Blancas: 6 Urna 2 - Negras: ...
Regla de Bayes
La regla de Bayes permite actualizar probabilidades a la luz de nueva información: \[ \mathbb{P}(B_k|A) = \frac{\mathbb{P}(A|B_k)\mathbb{P}(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)} \] Simulador: Prueba médica (falsos positivos/negativos) ...
Momios (Odds) y Factor de Bayes
Los momios de un evento \(A\) son: \[ \text{Odds}(A) = \frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A^C)} \] La regla de Bayes en términos de momios: \[ \text{Odds}(H|I) = \text{Odds}(H) \times \frac{\mathbb{P}(I|H)}{\mathbb{P}(I|H^C)} \] El cociente \(\frac{\mathbb{P}...
Muestras Ordenadas: Con y Sin Reemplazo
Muestreo con reemplazo: \( \#\Omega = n^r \) (cada extracción es independiente) Muestreo sin reemplazo: \( \#\Omega = (n)_r = n(n-1)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Simulador: Problema del cumpleaños Número de personas (r): 23 Simular 5000 grupos ...
Combinaciones: Muestras No Ordenadas
El coeficiente binomial cuenta el número de formas de elegir \(r\) objetos de \(n\) sin importar el orden: \[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{(n)_r}{r!} \] Calculadora de Combinaciones n (total): 10 r (elegir): 3 Ejemplo del PDF (manos...
Distribución Hipergeométrica
Para una población de \(N\) elementos con \(K\) "éxitos", la probabilidad de obtener \(k\) éxitos en una muestra de tamaño \(n\) sin reemplazo es: \[ \mathbb{P}(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \] Simulador: Tornillos defectuos...
Inclusión-Exclusión y Problema de Empates
Principio de Inclusión-Exclusión: \[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i) - \sum_{i<j} \mathbb{P}(A_i \cap A_j) + \cdots + (-1)^{n-1} \mathbb{P}(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \] Problema de los sombreros (empates) n...
Problema de Cajas Vacías
Se lanzan \(n\) bolas en \(r\) cajas al azar. La probabilidad de que exactamente \(k\) cajas queden vacías es: \[ p_k(r, n) = \binom{r}{k} \sum_{j=0}^{r-k} (-1)^j \binom{r-k}{j} \left(1 - \frac{j+k}{r}\right)^n \] Simulador: Bolas en cajas r (cajas): ...
Problema del Estambre Ruso (Ciclo Único)
Un problema clásico de combinatoria: se tienen \(2n\) extremos de estambre (\(n\) estambres) que se anudan al azar por pares. ¿Cuál es la probabilidad de que se forme un solo ciclo (en vez de varios ciclos más pequeños)? Simulador: Estambre Ruso n (núm...
Probabilidad Condicional
La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\) (con \(\mathbb{P}(B) > 0\)) es: \[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \] Interpretación frecuentista: \(\mathbb{P}(A|B) \approx \frac{n(A \cap B)}{n(B)}\). Simulador: Probabilidad...
Modos de Convergencia de Variables Aleatorias
Existen cuatro modos principales de convergencia para sucesiones de variables aleatorias: Convergencia casi segura (c.s.): \(X_n \xrightarrow{c.s.} X\) si \(\mathbb{P}(\lim_{n\to\infty} X_n = X) = 1\) Convergencia en probabilidad (P): \(X_n \xrightarrow{P...
Ley de los Grandes Números (LGN)
Ley Débil de los Grandes Números (LDGN): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu = \mathbb{E}[X_1] \] Ley Fuerte de los Grandes Números (LFGN): \[ \bar{X}_n \xrightarrow{c.s.} \mu \] Simulación: Convergencia de la media muestral ...
Teorema Central del Límite (TCL)
Teorema Central del Límite (Lindberg-Lévy): \[ Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{D} Z \sim N(0,1) \] Es decir, para n grande, \(\bar{X}_n \approx N(\mu, \sigma^2/n)\). Visualización del TCL pa...