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Transformación de Variables Aleatorias (Caso Univariado)
Si \(X\) es una variable aleatoria continua con densidad \(f_X\) y \(Y = g(X)\) es una transformación monótona (creciente o decreciente) y derivable, entonces: \[ f_Y(y) = f_X(h(y)) \left| \frac{dh(y)}{dy} \right|, \quad \text{donde } h = g^{-1} \] Si \(g\...
Distribución Lognormal
Una variable \(X\) tiene distribución lognormal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) si \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Su densidad es: \[ f_X(x) = \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)^2\right\}, \...
Transformación Integral de Probabilidad
Teorema fundamental de simulación: Si \(X\) es una variable continua con función de distribución \(F_X\) estrictamente creciente, entonces \(U = F_X(X) \sim \text{Unif}(0,1)\). Recíprocamente, si \(U \sim \text{Unif}(0,1)\), entonces \(X = F_X^{-1}(U)\) ti...
Transformaciones Multivariadas y el Jacobiano
Para transformaciones de vectores, la fórmula incluye el determinante jacobiano: \[ f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |J_h(y)| \] donde \(J_h(y) = \det\left( \frac{\partial h_i}{\partial y_j} \right)\). Visualización: Transformación lineal de normales independie...
Distribución t de Student
La distribución t de Student con \(n\) grados de libertad se define como: \[ T = \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}, \quad \text{donde } Z \sim N(0,1),\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes} \] Su densidad es: \[ f_T(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{...
Transformación Box-Muller
La transformación Box-Muller (1958) permite generar dos normales estándar independientes a partir de dos uniformes independientes: \[ X_1 = \sqrt{-2\log U_1} \cos(2\pi U_2), \quad X_2 = \sqrt{-2\log U_1} \sin(2\pi U_2) \] Generador Box-Muller interactiv...
Distribución Normal Bivariada
La distribución normal bivariada es la generalización natural de la normal univariada a dos dimensiones. Su función de densidad es: \[ f(x_1, x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x_1-\mu_1}...
Distribuciones Condicionales
Una propiedad clave de la normal bivariada es que las distribuciones condicionales también son normales. Teorema: Si \((X_1, X_2)\) es normal bivariada, entonces \[ (X_1 \mid X_2 = x_2) \sim N\left(\mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2),\; \s...
Normal Multivariada General
La distribución normal multivariada de dimensión \(p\) se define como: \[ \mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) \] con función de densidad (si \(\boldsymbol{\Sigma}\) es definida positiva): \[ f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol...
Descomposición Espectral y Componentes Principales
La descomposición espectral de \(\boldsymbol{\Sigma}\) es: \[ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{Q} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{Q}^T \] donde \(\mathbf{Q}\) es ortogonal (\(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^T = \mathbf{I}\)) y \(\boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1...
Distribuciones Condicionales (Caso General)
Particionamos \(\mathbf{X} = \begin{pmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{pmatrix}\) con \(\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2 \end{pmatrix}\) y \(\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} &...
De Binomial a Trinomial
La distribución binomial cuenta cuántos ensayos caen en una categoría (éxito) vs el resto. La distribución trinomial extiende esto a tres categorías mutuamente excluyentes y exhaustivas. Repaso: Distribución Binomial En un experimento con 2 categorías (C...
Distribución Multinomial General
La distribución multinomial generaliza la trinomial a \(k\) categorías. \[ \mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_k) \sim \text{Multinomial}(n, p_1, \ldots, p_k) \] con \(\sum_{i=1}^k p_i = 1\) y \(\sum_{i=1}^k X_i = n\). Función de masa de probabilidad conjunta: ...
FGM Conjunta de la Multinomial
La FGM conjunta es una herramienta poderosa para derivar propiedades de la multinomial. Teorema: Sea \(\mathbf{X} \sim \text{Multinomial}(n, p_1, \ldots, p_k)\). Entonces \[ m_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[e^{\mathbf{t}^T \mathbf{X}}] = (p_1 e^{t...
Aplicación: Costo de reparación
Problema (Wackerly et al., Ej. 5.120): Una muestra de \(n\) artículos. \(p_1\) = proporción con 1 defecto, \(p_2\) = proporción con más de 1 defecto. Costo de reparación: \(C = Y_1 + 3Y_2\), donde \(Y_1\) = número con 1 defecto, \(Y_2\) = número con más de...
Correlación entre categorías
El coeficiente de correlación entre \(X_i\) y \(X_j\) (con \(i \neq j\)) es siempre negativo, reflejando la relación de compensación entre categorías. Fórmula de correlación: \[ \rho_{ij} = \operatorname{corr}(X_i, X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i, X_...
Función Generadora de Momentos - Definición
La función generadora de momentos (FGM) es una herramienta poderosa que "codifica" todos los momentos de una distribución en una sola función. \[ m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \begin{cases} \sum_{x} e^{tx} f_X(x) & \text{(discreto)} \\ \int_{-\infty}^{\inf...
Suma de Variables Aleatorias Independientes
Una de las aplicaciones más importantes de la FGM es encontrar la distribución de sumas de variables independientes. Demostración: la FGM de una suma de independientes es el producto de sus FGMs Si \(X\) y \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = \math...