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Regla del producto
Cuando una función es el producto de dos funciones, su cambio depende de cómo cambia cada una de ellas. Regla: \((fg)'=f'g+fg'\) Para derivar un producto, se deriva una función y se deja la otra igual, y luego se invierten los papeles. Es importante notar ...
Regla de la cadena
Cuando una función está dentro de otra, su cambio ocurre en dos niveles. Regla: \((f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)\) Interpretación: Para derivar una función compuesta: se deriva la función exterior se evalúa en la función interior y se multiplica por la deri...
Regla del cociente
Cuando una función es el cociente de dos funciones, su derivada se calcula con la siguiente regla. Regla: \((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\) Es importante cuidar el orden de los términos en el numerador. Esta regla permite derivar cocientes de funcion...
SERIES DE TAYLOR Y APROXIMACIÓN
En este capítulo veremos cómo aproximar funciones complicadas usando polinomios. A partir de la información local de una función, como sus derivadas en un punto, construiremos aproximaciones cada vez más precisas. Estas ideas permiten describir funciones com...
Estadística
¿Cómo aproximar una función?
Muchas funciones son complicadas de calcular exactamente. Sin embargo, cerca de un punto, su comportamiento puede parecerse mucho al de un polinomio. Ya vimos que la recta tangente aproxima una función cerca de un punto. Pero una recta solo captura parte de...
Polinomio de Taylor
La idea detrás de las aproximaciones anteriores es construir un polinomio que comparta cada vez más información con la función original en un punto. El polinomio de Taylor utiliza los valores de la función y de sus derivadas para construir una aproximación lo...
Error en la aproximación
Un polinomio de Taylor no siempre coincide exactamente con la función original. La diferencia entre ambos se conoce como error de aproximación. En general, el error: disminuye al aumentar el grado del polinomio y es menor cerca del punto de expansión \(x...
LA INTEGRAL
Hasta ahora hemos utilizado la derivada para describir cómo cambian las funciones. La integral surge de una idea distinta: acumular cantidades pequeñas para aproximar un valor total. A lo largo de este capítulo veremos cómo aproximar áreas, construir sumas d...
¿Cómo reconstruir una cantidad?
En el estudio de derivadas, partimos de una posición para entender cómo cambia una cantidad. En integración ocurre lo contrario: conocemos pequeños cambios y buscamos reconstruir la cantidad total acumulada. Por ejemplo, si conocemos la velocidad de un objet...
Sumas de Riemann
En la página anterior aproximamos una cantidad acumulada utilizando rectángulos. Ahora daremos nombre y estructura matemática a esa idea. Una suma de Riemann aproxima una acumulación dividiendo un intervalo en partes pequeñas y sumando áreas de rectángulos. ...
La integral definida
En las sumas de Riemann aproximamos una cantidad acumulada usando un número finito de rectángulos. Pero, ¿qué ocurre si aumentamos indefinidamente el número de particiones? Cuando el ancho de los subintervalos se hace cada vez más pequeño, las aproximaciones...
El Teorema Fundamental del Cálculo
La derivada estudia cómo cambia una cantidad. La integral acumula pequeños cambios. ¿Existe una conexión entre ambas ideas? Supongamos que definimos: \(A(x)=\int_a^x f(t)dt\) donde \(A(x)\) representa la cantidad acumulada desde \(a\) hasta \(x\). Al mov...
MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACIÓN
Aunque derivar una función suele seguir reglas relativamente sistemáticas, integrar puede ser considerablemente más desafiante. Muchos métodos de integración pueden entenderse como procesos inversos de reglas de derivación ya conocidas. En este capítulo estu...
Sustitución
La regla de la cadena permite derivar composiciones de funciones. El método de sustitución surge al intentar deshacer ese proceso. El método de sustitución consiste en reemplazar una expresión complicada por una nueva variable más simple. La relación entre ...
Integración por partes
La integración por partes surge al reorganizar la regla del producto. Recordatorio: \((fg)' = f'g + fg'\) Idea principal: Si integramos la regla del producto: \(fg=\int f'g\,dx+\int fg'\,dx\) Despejando una de las integrales: \(\int fg'\,dx = fg-\int ...
Más allá de los métodos básicos
A diferencia de muchas derivadas, las integrales pueden ser considerablemente más difíciles de calcular. Existen numerosos métodos de integración y, en muchos casos, no es posible expresar una integral mediante funciones elementales. De hecho, algunas integr...
FUNCIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
Algunas funciones aparecen constantemente en cálculo debido a la manera en que modelan cambio, acumulación y comportamiento periódico. En este capítulo estudiaremos funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales desde la perspectiva del cálculo difer...