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Aplicaciones: Encuestas y Márgenes de Error
Para una proporción poblacional \(p\), el estimador \(\hat{p} = \bar{X}_n\) satisface: \[ \hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) \] El margen de error para un nivel de confianza del 95% es aproximadamente \(1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \approx \f...
Teorema de Slutsky y Resultados Relacionados
Teorema de Slutsky: Si \(X_n \xrightarrow{D} X\) y \(Y_n \xrightarrow{P} c\) (constante), entonces: \(X_n + Y_n \xrightarrow{D} X + c\) \(X_n Y_n \xrightarrow{D} cX\) \(X_n / Y_n \xrightarrow{D} X/c\) (si \(c \neq 0\)) Verificación: Teorema de Slutsky...
Desigualdad de Markov
Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\). Entonces, para todo \(c > 0\): \[ \mathbb{P}(X \ge c) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{c} = \frac{\mu_X}{c} \] Verificación interactiva Distribución: Exponencial(λ...
Desigualdad de Chebyshev
Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Equivalentemente, para \(k > 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| ...
Chebyshev Unilateral (Cantelli)
La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola: \[ \mathbb{P}(X - \mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}, \quad a > 0 \] Análogamente, \(\mathbb{P}(X - \mu \le -a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\). ...
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa, entonces \[ \mathbb{E}[h(X)] \ge h(\mathbb{E}[X]) \] Si \(h\) es cóncava, la desigualdad se invierte: \[ \mathbb{E}[h(X)] \le h(\mathbb{E}[X]) \] Verificación de Jensen para diferentes funciones F...
Comparación de Cotas: Markov vs Chebyshev vs Unilateral
Para una variable positiva con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), comparamos las tres cotas: \[ \begin{aligned} \text{Markov: } & \mathbb{P}(X \ge a) \le \frac{\mu}{a} \\ \text{Chebyshev: } & \mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \frac{\sigma^2}{a^2} \\ \text{...
Estadísticos de Orden - Definición
Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una muestra aleatoria (i.i.d.) de una población con función de distribución \(F\). Los estadísticos de orden son las variables ordenadas: \[ X_{(1)} \le X_{(2)} \le \cdots \le X_{(n)} \] donde \(X_{(1)} = \min\{X_i\}\), \(X_{(n)} =...
Distribución del Mínimo y Máximo
Para el máximo \(X_{(n)}\): \[ F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1} \] Para el mínimo \(X_{(1)}\): \[ F_{X_{(1)}}(x) = 1 - [1 - F(x)]^n, \quad f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) [1 - F(x)]^{n-1} \] Distribuciones del mínimo y máxim...
Distribución del r-ésimo Estadístico de Orden
La función de densidad del r-ésimo estadístico de orden \(X_{(r)}\) es: \[ f_{X_{(r)}}(x) = n \binom{n-1}{r-1} f(x) [F(x)]^{r-1} [1 - F(x)]^{n-r} \] Visualización: Densidad del percentil muestral n (tamaño muestra): 10 r (estadístico de orden): 5 ...
Distribución del Rango
El rango de la muestra es \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\). Su densidad está dada por: \[ f_R(r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{\infty} f(u) f(r+u) [F(r+u) - F(u)]^{n-2} du, \quad r \ge 0 \] Distribución del rango para Uniforme(0,1) n (tamaño muestra): 10 Simular ...
Densidad Conjunta de los Estadísticos de Orden
La densidad conjunta de todos los estadísticos de orden es: \[ f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(y_1,\ldots,y_n) = n! \prod_{i=1}^n f(y_i), \quad y_1 < y_2 < \cdots < y_n \] Visualización: Espaciados de uniformes n (tamaño muestra): 5 Generar espaciados ...
Aplicación: Personas en una milla
Problema: Se distribuyen \(n\) personas "al azar" a lo largo de una milla. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas a menos de \(d\) millas de distancia? Simulación del problema de las personas n (número de personas): 3 d (distancia mínima...
Suma de Variables Aleatorias - Convolución
Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la convolución: \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx = (f_X * f_Y)(z) \] En el caso discreto: \[ f_{X+Y}(z) = \sum_{x} f_X(x) f_Y(z-x) \] Simulador: Suma de dos uni...
Suma de Gammas y Propiedades de la Convolución
La convolución es una operación entre funciones que es: Conmutativa: \(f_X * f_Y = f_Y * f_X\) Asociativa: \(f_X * (f_Y * f_Z) = (f_X * f_Y) * f_Z\) Visualización: Suma de dos variables Gamma α₁ (forma 1): 2.0 α₂ (forma 2): 3.0 β (escala común): 1...
Cociente de Variables Aleatorias
Para el cociente \(Z = Y/X\), la densidad está dada por: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_{X,Y}(x, xz) dx \] Si \(X\) y \(Y\) son independientes: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) f_Y(xz) dx \] Ejemplo clásico: Cociente de ...
Distribución F (Fisher-Snedecor)
La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como: \[ W = \frac{X/m}{Y/n} \sim F_{m,n}, \quad \text{donde } X \sim \chi^2_m,\; Y \sim \chi^2_n \text{ independientes} \] Su densidad es: \[ f_W(w) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\rig...
Aplicaciones: Cociente de Chi-cuadradas
Sean \(X \sim \chi^2_m\) e \(Y \sim \chi^2_n\) independientes. Entonces: \[ Z = \frac{X}{Y} \text{ tiene densidad } f_Z(z) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{z^{\frac{m}{2}-1}}{(1+z...