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Geométrica(p): número de fracasos hasta el primer éxito. \[ f_X(x) = p(1-p)^x, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = \frac{1-p}{p}\), \(\operatorname{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\) Pérdida de memoria: \(\mathbb{P}(X \ge m+n | X \ge m) = \mathbb{P}(X \ge n...

Binomial Negativa(r,p): número de fracasos hasta el r-ésimo éxito. \[ f_X(x) = \binom{r+x-1}{x} p^r (1-p)^x, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = r\frac{1-p}{p}\), \(\operatorname{var}(X) = r\frac{1-p}{p^2}\) Caso particular: \(r=1\) → Geométrica. ...

Poisson(λ): modela el número de eventos raros en un intervalo. \[ f_X(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x=0,1,2,\ldots \] \(\mathbb{E}[X] = \lambda\), \(\operatorname{var}(X) = \lambda\) Aproximación binomial: Si \(n\) grande y \(p\) pequeño, \...

Hipergeométrica(N, M, n): muestreo sin reemplazo. \[ f_X(x) = \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad x=0,1,\ldots,n \] \(\mathbb{E}[X] = n\frac{M}{N}\), \(\operatorname{var}(X) = n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}\) Simulador Hi...

La función generadora de momentos (FGM) de una v.a. \(X\) es: \[ m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \] Siempre que la esperanza exista para \(|t| < \delta\) con \(\delta > 0\). Explorador de FGM Distribución: Bernoulli(p) Binomial(n,p) Poisson(λ) Exponencial...

Propiedades clave: Transformación lineal: \(m_{a+bX}(t) = e^{at} m_X(bt)\) Teorema de unicidad: Si \(m_X(t) = m_Y(t)\) en un entorno de 0, entonces \(X\) e \(Y\) tienen la misma distribución Suma de independientes: Si \(X\) e \(Y\) son independientes, \(m...

Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t) \] Esto permite encontrar la distribución de sumas de variables independientes. Calculadora de suma de independientes Distribución de X: Poisson(λ₁) Binomial(n₁,p) Normal(μ₁,σ₁²)...

¿Los momentos determinan la distribución? NO. Existen distribuciones distintas con los mismos momentos. La FGM (cuando existe) sí determina la distribución de manera única. Contraejemplo: Lognormal vs Distribución "perturbada" Mostrar momentos de Logno...

La función característica de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb{E}[\cos(tX)] + i\mathbb{E}[\sin(tX)] \] Siempre existe para todo \(t \in \mathbb{R}\). Comparativa: FGM vs FC Distribución: Normal(0,1) (tiene FGM) Cauchy(...

El p-ésimo cuantil \(x_p\) es el valor que satisface: \[ x_p = \min\{x \in \mathbb{R} : p \le F_X(x)\} \] Mediana: \(x_{0.5}\) (50% de la probabilidad a cada lado) Moda: valor donde \(f_X(x)\) (o \(f_X(x_i)\)) es máximo Explorador de cuantiles Distribu...

El valor esperado o media de una v.a. es: \[ \mathbb{E}[X] = \begin{cases} \sum_{x_i} x_i f_X(x_i) & \text{(discreto)} \\ \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx & \text{(continuo)} \end{cases} \] Interpretación: centro de masa de la distribución. Calculado...

El Teorema del Estadístico Inconsciente (TEI) o LOTUS permite calcular \(\mathbb{E}[g(X)]\) sin conocer la distribución de \(g(X)\): \[ \mathbb{E}[g(X)] = \begin{cases} \sum_{x_i} g(x_i) f_X(x_i) & \text{(discreto)} \\ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) d...

Varianza: \(\operatorname{var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2] - \mu^2\) Desviación estándar: \(\sigma_X = \sqrt{\operatorname{var}(X)}\) Coeficiente de variación: \(\text{cv}(X) = \frac{\sigma_X}{|\mu_X|}\) (medida relativa de dispersión) ...

Coeficiente de asimetría (Fisher-Pearson): \[ \eta_3 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^3\right] \] \(\eta_3 = 0\) (simétrica), \(\eta_3 > 0\) (cola derecha más larga), \(\eta_3 < 0\) (cola izquierda más larga) Coeficiente de curtosis: \...

La esperanza condicional dado un evento \(B\) (con \(\mathbb{P}(B) > 0\)) es: \[ \mathbb{E}[X|B] = \frac{1}{\mathbb{P}(B)} \int_B x f_X(x) dx \quad (\text{continuo}) \] \[ \mathbb{E}[X|B] = \frac{1}{\mathbb{P}(B)} \sum_{x_i \in B} x_i f_X(x_i) \quad (\text...

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio: \[ X: \Omega \to \mathbb{R} \] La función de masa de probabilidad (f.m.p.) para una v.a. discreta es: \[ f_X(x) = \mathbb{P}(X = x) \] con \(\sum_...

Distribución Geométrica: \(f_Y(y) = p(1-p)^{y-1}\), \(y = 1,2,3,\ldots\) (número de ensayos hasta el primer éxito) Distribución Poisson: \(f_N(n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}\), \(n = 0,1,2,\ldots\) Distribución Uniforme Discreta: \(f_U(u) = \frac{1...

La función de distribución de una variable aleatoria \(X\) es: \[ F_X(x) = \mathbb{P}(X \le x), \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Propiedades: No decreciente: \(x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \le F(x_2)\) \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), \(\lim_{x \to \in...