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Valor Esperado (Media)
El valor esperado o media de una v.a. es: \[ \mathbb{E}[X] = \begin{cases} \sum_{x_i} x_i f_X...
Cuantiles, Mediana y Moda
El p-ésimo cuantil \(x_p\) es el valor que satisface: \[ x_p = \min\{x \in \mathbb{R} : p \le...
Función Característica (FC)
La función característica de una v.a. \(X\) es: \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \math...
Problema de los Momentos
¿Los momentos determinan la distribución? NO. Existen distribuciones distintas con los mismos...
Suma de Variables Independientes
Si \(X\) e \(Y\) son independientes: \[ m_{X+Y}(t) = m_X(t) \cdot m_Y(t) \] Esto permite enco...
Propiedades de la FGM
Propiedades clave: Transformación lineal: \(m_{a+bX}(t) = e^{at} m_X(bt)\) Teorema de unicid...
Función Generadora de Momentos (FGM)
La función generadora de momentos (FGM) de una v.a. \(X\) es: \[ m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] ...
Distribución Hipergeométrica
Hipergeométrica(N, M, n): muestreo sin reemplazo. \[ f_X(x) = \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{...
Distribución Poisson
Poisson(λ): modela el número de eventos raros en un intervalo. \[ f_X(x) = \frac{\lambda^x e^...
Distribución Binomial Negativa
Binomial Negativa(r,p): número de fracasos hasta el r-ésimo éxito. \[ f_X(x) = \binom{r+x-1}{...
Distribución Geométrica y Pérdida de Memoria
Geométrica(p): número de fracasos hasta el primer éxito. \[ f_X(x) = p(1-p)^x, \quad x=0,1,2,...
Distribuciones Bernoulli y Binomial
Bernoulli(p): \(X \in \{0,1\}\), \(f(x)=p^x(1-p)^{1-x}\), \(\mathbb{E}[X]=p\), \(\operatornam...
Weibull, Lognormal, Laplace y Pareto
Weibull(α,β): \(f(w)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{w}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(w/\beta)...
Distribuciones Cauchy y Beta
Cauchy(α,β): \(f(x)=\frac{1}{\pi\beta[1+((x-\alpha)/\beta)^2]}\) — ¡No tiene momentos! Beta(α...
Distribución Normal
Normal(μ, σ²): \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\ri...
Teorema de Continuidad de la Probabilidad
El teorema de continuidad establece que la probabilidad es una función continua respecto a su...
Espacios de Probabilidad No Uniformes
En muchos casos, los resultados no son igualmente probables. Por ejemplo: Una moneda cargada...
Espacios de Probabilidad Uniforme
En un espacio uniforme, todos los resultados son igualmente probables. \[ \mathbb{P}(A) = \fr...
Propiedades de la Probabilidad
De los axiomas se derivan propiedades útiles: \[ \begin{aligned} & \mathbb{P}(A^C) = 1 - \mat...
Axiomas de Kolmogorov
Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\) es una función que asigna números reales a eventos,...