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Antes de que aparezcan fórmulas y gráficas, piensa en esto: Cada vez que revisas el clima, cada vez que ves el precio del dólar, cada vez que Spotify te recomienda una canción o cuando ves cómo cambian las calorías que quemas al correr más rápido, estás usand...

A cada tipo de función le corresponde una forma característica. En esta sección estudiaremos distintos tipos de funciones a través de sus gráficas, enfocándonos en cómo la regla que define a la función se refleja en su gráfica. Estudiaremos funciones reales: ...

Muchas funciones se parecen entre sí: cambian de lugar horizontal o verticalmente, se estiran, se voltean, pero conservan su forma básica. En esta sección exploraremos cómo una gráfica conocida puede transformarse en muchas otras. Partiremos de una función ba...

En esta sección exploraremos algunas funciones que aparecen con mucha frecuencia en matemáticas y en aplicaciones y cuyas gráficas presentan comportamientos distintos a los que hemos visto hasta ahora. 1. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto apar...

Desde la antigüedad, filósofos y matemáticos se han preguntado qué significa acercarse a un valor sin necesariamente alcanzarlo.Las paradojas de Zenón muestran que un proceso puede dividirse infinitamente y aun así describir un resultado finito. Imagina que q...

En la paradoja de Zenón vimos que un proceso puede acercarse cada vez más a un resultado sin necesidad de “completar” todos los pasos. En matemáticas, esta idea aparece cuando estudiamos funciones. Muchas veces no nos interesa únicamente el valor de una func...

En ocasiones no basta con decir que una variable se acerca a un valor. También importa desde qué lado se aproxima. Podemos acercarnos a un número \(a\) de dos maneras: por valores menores que \(a\) es decir, por la izquierda; por valores mayores que \(a\)...

Hasta ahora hemos estudiado lo que ocurre cuando x se acerca a un número específico. Pero también podemos preguntarnos: ¿qué pasa cuando x crece cada vez más? ¿Cómo se comporta una función cuando la variable se vuelve muy grande? Esto se describe mediante l...

Imagina que recorres la gráfica de una función con la punta de un lápiz.Si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel, decimos que la función es continua. Una función es continua en un punto si su gráfica no presenta saltos, huecos ni interrupciones en ...

En la sección anterior vimos que una función es continua en \(a\) cuando se cumplen tres condiciones: \(f(a)\) Existe \(lim_{x \to a} f(x)\) Existe Ambos valores coinciden Cuando alguna de estas condiciones falla, aparece una discontinuidad. Existen d...

Muchas cantidades en el mundo cambian constantemente. la velocidad de un automóvil la temperatura durante el día la altura de una pelota al ser lanzada el número de personas en una ciudad Las matemáticas pueden describir cuánto vale una cantidad en ca...

En la página anterior nos preguntamos cómo medir el cambio en un instante. Antes de responder eso, empecemos con algo más sencillo: ¿cómo medir el cambio entre dos puntos? Supongamos que una función describe la posición de un objeto en el tiempo. Si tomamos ...

En la página anterior vimos cómo una recta secante mide el cambio entre dos puntos. Pero surge una pregunta natural: ¿qué ocurre cuando esos dos puntos se acercan cada vez más? Al acercar los puntos, la recta secante parece estabilizarse. Esa recta especial...

En la página anterior vimos que, al acercar dos puntos, la recta secante se aproxima a una recta especial: la recta tangente. Pero surge una pregunta: ¿cómo describir matemáticamente esa recta? Sabemos que la pendiente de la recta secante es: \(\frac{f(x_...

En el capítulo anterior definimos la derivada como la pendiente de la recta tangente. Pero ahora viene la pregunta más importante: ¿Qué mide la derivada? La derivada mide cómo cambia una función en un punto. Pero no cualquier cambio. Mide el cambio instant...

Hasta ahora vimos que la derivada nos dice qué tan rápido cambia una función. Pero hay algo aún más importante: ¿la función está aumentando o disminuyendo? La derivada no solo mide rapidez. También nos dice la dirección del cambio. El signo de la pendient...

Hay puntos especiales donde la derivada es cero.En esos puntos, la función deja de crecer o decrecer momentáneamente.Estos puntos se llaman puntos críticos. Pero surge una pregunta importante: Si una función deja de crecer y empieza a decrecer, ¿qué ocurre e...