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Hasta ahora parece que cuando la derivada es cero, la función tiene un máximo o un mínimo, pero, ¿siempre es así? Veamos un ejemplo donde esto no ocurre. En ambos casos, la derivada en \(x=0\) es cero, sin embargo, el comportamiento de las funciones es dis...

Hasta ahora hemos descrito si una función crece o decrece. Pero eso no cuenta toda la historia. Dos funciones pueden crecer y sin embargo verse completamente distintas. La diferencia está en cómo se curvan sus gráficas.   Observa cómo cambia la forma de...

Hasta ahora hemos descrito la curvatura de una función observando su gráfica. Pero surge una pregunta natural: ¿podemos entender esto usando la derivada? Observa la recta tangente al mover el punto. En algunos intervalos, la pendiente de la recta tangente...

En la página anterior vimos que la curvatura de una función está relacionada con cómo cambia su pendiente. Ahora vamos a describir esto usando derivadas. La derivada nos dice cuál es la pendiente de la función. Si queremos saber cómo cambia esa pendiente, n...

Hasta ahora hemos usado la derivada para entender cómo cambian las funciones. Pero surge una nueva pregunta: ¿cómo se calculan en la práctica? Existen reglas que nos permiten derivar funciones de manera directa. Algunas son muy simples, pero incluso las más...

Las reglas más básicas permiten derivar sumas de funciones y constantes de manera directa. Regla de la suma: \((f+g)'=f'+g'\) Derivar una suma consiste en derivar cada término por separado. Regla de la constante: \((c)'=0\) \((cf)'=cf'\) Ejemplos: ...

Cuando una función es el producto de dos funciones, su cambio depende de cómo cambia cada una de ellas. Regla: \((fg)'=f'g+fg'\) Para derivar un producto, se deriva una función y se deja la otra igual, y luego se invierten los papeles. Es importante notar ...

Cuando una función está dentro de otra, su cambio ocurre en dos niveles. Regla: \((f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)\) Interpretación: Para derivar una función compuesta: se deriva la función exterior se evalúa en la función interior y se multiplica por la deri...

Cuando una función es el cociente de dos funciones, su derivada se calcula con la siguiente regla. Regla:  \((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\) Es importante cuidar el orden de los términos en el numerador. Esta regla permite derivar cocientes de funcion...

Muchas funciones son complicadas de calcular exactamente. Sin embargo, cerca de un punto, su comportamiento puede parecerse mucho al de un polinomio. Ya vimos que la recta tangente aproxima una función cerca de un punto. Pero una recta solo captura parte de...

La idea detrás de las aproximaciones anteriores es construir un polinomio que comparta cada vez más información con la función original en un punto. El polinomio de Taylor utiliza los valores de la función y de sus derivadas para construir una aproximación lo...

Un polinomio de Taylor no siempre coincide exactamente con la función original. La diferencia entre ambos se conoce como error de aproximación. En general, el error: disminuye al aumentar el grado del polinomio y es menor cerca del punto de expansión \(x...

En el estudio de derivadas, partimos de una posición para entender cómo cambia una cantidad. En integración ocurre lo contrario: conocemos pequeños cambios y buscamos reconstruir la cantidad total acumulada. Por ejemplo, si conocemos la velocidad de un objet...

En la página anterior aproximamos una cantidad acumulada utilizando rectángulos. Ahora daremos nombre y estructura matemática a esa idea. Una suma de Riemann aproxima una acumulación dividiendo un intervalo en partes pequeñas y sumando áreas de rectángulos. ...

En las sumas de Riemann aproximamos una cantidad acumulada usando un número finito de rectángulos. Pero, ¿qué ocurre si aumentamos indefinidamente el número de particiones? Cuando el ancho de los subintervalos se hace cada vez más pequeño, las aproximaciones...

La derivada estudia cómo cambia una cantidad. La integral acumula pequeños cambios. ¿Existe una conexión entre ambas ideas? Supongamos que definimos: \(A(x)=\int_a^x f(t)dt\) donde \(A(x)\) representa la cantidad acumulada desde \(a\) hasta \(x\). Al mov...

La regla de la cadena permite derivar composiciones de funciones. El método de sustitución surge al intentar deshacer ese proceso. El método de sustitución consiste en reemplazar una expresión complicada por una nueva variable más simple. La relación entre ...

La integración por partes surge al reorganizar la regla del producto. Recordatorio: \((fg)' = f'g + fg'\) Idea principal: Si integramos la regla del producto: \(fg=\int f'g\,dx+\int fg'\,dx\) Despejando una de las integrales: \(\int fg'\,dx = fg-\int ...