Funciones reales y gráficas en el plano

A cada tipo de función le corresponde una forma característica. En esta sección estudiaremos distintos tipos de funciones a través de sus gráficas, enfocándonos en cómo la regla que define a la función se refleja en su gráfica.

Estudiaremos funciones reales: \(X \subseteq \mathbb{R}\) y \(Y \subseteq \mathbb{R}\). La función se denota \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

La notación \(f(x)\) se lee como "f de x". Si \(f(x)=x^2\) entonces \(f(3)=9\), \(x\) es la variable independiente y \(y=f(x)\) es la variable dependiente.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función \(f\) es el conjunto de todos los puntos \((x, f(x))\) en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\).

Criterio de la vertical: una gráfica corresponde a una función si y solo si cada línea vertical intersecta la gráfica a lo más una vez.

Ejemplos:

1. Funciones lineales: tiene la forma \(f(x)=mx + b\). Son las más simples, pero no las menos importantes. Describen crecimiento constante y aparecen en modelos económicos, físicos y sociales.

Abre el applet de geogebra y realiza las siguientes actividades:

2. Funciones cuadráticas: tiene la forma \(f(x)=ax^2 + bx+c\). Muchas trayectorias en la vida real tienen forma parabólica: el recorrido de un objeto lanzado, el movimiento de una pelota. Usa la gráfica que aparece a continuación y realiza las siguientes actividades:

Las funciones lineales y cuadráticas que hemos estudiado hasta ahora pertenecen a una misma familia: las funciones polinomiales. Estas funciones están definidas para todo número real y sus gráficas no presentan cortes ni saltos.

3. Funciones racionales: forma general: \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\), son el cociente de dos polinomios. En algunas funciones, no todos los valores de una variable están permitidos. Las funciones racionales son un ejemplo importante: su gráfica puede presentar rupturas y asíntotas debido a restricciones en el dominio. Sus gráficas son muy útiles para analizar estos comportamientos.

Primer applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) 

Segundo applet: \(f(x)=\frac{ax+b}{(x-r)(x-s)}\) 

4. Raíces cuadradas: Son de la forma \(f(x)=a\sqrt{x-h}\). No todas las funciones empiezan en cualquier punto: las funciones raíz cuadrada tienen un punto inicial que determina su dominio. Estas funciones aparecen de forma natural al describir distancias y longitudes que no pueden ser negativas. Describen fenómenos que sólo existen a partir de cierto instante.

Con el applet de geogebra, realiza las siguientes actividades:

5. Funciones definidas por partes:

     5.1. Función piso. La función piso \(f(x)=\lfloor x \rfloor\) devuelve el entero más cercano por debajo de \(x\). Es una función que está definida para todo \(x\) pero no cambia de manera continua. Un ejemplo de esta función es la edad: cuando alguien pregunta cuántos años tienes, normalmente respondemos un número entero. Aunque hayas cumplido 20 años y 3 meses, la respuesta es que tienes 20 años.

            Actividad: 

     5.2. Ejemplo general de función definida por partes: La regla que define a la función cambia dependiendo del valor de \(x\). 

            Actividad:

 

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

En los ejemplos anteriores vimos que no todas las funciones están definidas para todos los valores de \(x)\. A este conjunto de valores permitidos se le llama dominio de la función.

Algunas funciones restringen su dominio de forma implícita, entre las restricciones comunes están:

Ejemplos:

  1. \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\) no está definida en \(x=1\), el dominio es: \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Aunque la expresión se puede simplificar, la función original no está definida en ese punto.
  2. \(f(x)=a\sqrt{x-h}\) no está definida para \(x<h\), el dominio es: \([h,\infty)\)

Actividad de cierre: Para cada una de las funciones estudiadas en esta página:

Revision #29
Created 2026-01-20 18:46:05 UTC by Martina Roquero
Updated 2026-02-11 18:26:42 UTC by Martina Roquero