Límites Laterales

<h1>Límites laterales</h1>

<p>
En ocasiones no basta con decir que una variable se acerca a un valor.
También importa <b>desde qué lado</b> se aproxima.
</p>

<p>
Podemos acercarnos a un número \(a\) de dos maneras:
</p>

<ul>
<li>

• por valores menores que \(a\), es decir, <b>por la izquierda</b>;</li>
  <li>
• por valores mayores que \(a\), es decir, <b>por la derecha</b>.</li>
  </ul>

<p>
Esta distinción da lugar a los <b>límites laterales</b>.
</p>

<p>
Decimos que
</p>

<p style="text-align:center">
\[
 \lim_{x\to a^-} f(x)
 \]
</p>

<p>
representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) <b>por la izquierda</b>.
</p>

<p>
De manera similar,
</p>

<p style="text-align:center">
\[
 \lim_{x\to a^+} f(x)
 \]
</p>

<p>
representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) <b>por la derecha</b>.
</p>

<h2>

Actividad</h2>

<p>
Observa el siguiente ejemplo:
</p>

<p style="text-align:center">
\[
 f(x)=\frac{2x^2-7x+3}{|x-3|}
 \]
</p>

<p>
Explora el applet y analiza qué ocurre cuando \(x\) se aproxima a \(3\) por ambos lados.
</p>

<div class="ggb-element" id="limite-racional-2" data-material-id="mc6s2hv4"></div>

<p><b>Preguntas para pensar:</b></p>

<ul>
<li>

• ¿Qué valores toma la función cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la izquierda?</li>
  <li>
• ¿Qué valores toma cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la derecha?</li>
  <li>
• ¿Parece que la función se aproxima al mismo valor en ambos casos?</li>
  <li>
• Si los valores a los que se acerca son distintos, ¿podemos decir que existe un único límite?</li>
  </ul>

<p>
En este ejemplo, la aproximación por la izquierda y por la derecha no conduce al mismo valor.
 Decimos entonces que los límites laterales son distintos:
</p>

<p style="text-align:center">
\[
 \lim_{x\to 3^-} f(x) = -5
 \qquad
 \lim_{x\to 3^+} f(x) = 5
 \]
</p>

<p>
Como estos valores no coinciden, el límite de la función cuando \(x\to3\) <b>no existe</b>.
</p>

<h2>

Idea importante</h2>

<p>
Para que exista el límite de una función en un punto, es necesario que la función se aproxime
<b>al mismo valor</b> desde ambos lados.
</p>

<p style="text-align:center">
\[
 \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe}
 \quad \text{si y solo si} \quad
 \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)
 \]
</p>