Límites Laterales

<h1>Límites laterales</h1>

En ocasiones no basta con decir que una variable se acerca a un valor.
También importa desde qué lado se aproxima.

Podemos acercarnos a un número \(a\) de dos maneras:

<ul>
<li>por valores menores que \(a\), es decir, por la izquierda;</li>
<li>por valores mayores que \(a\), es decir, por la derecha.</li>
</ul>

Esta distinción da lugar a los límites laterales.

Decimos que

\[
\lim_{x\to a^-} f(x)
\]

representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) por la izquierda.

De manera similar,

\[
\lim_{x\to a^+} f(x)
\]

representa el valor al que se aproxima la función cuando \(x\) se acerca a \(a\) por la derecha.

<h2>Actividad</h2>

Observa el siguiente ejemplo:

\[
f(x)=\frac{2x^2-7x+3}{|x-3|}
\]

Explora el applet y analiza qué ocurre cuando \(x\) se aproxima a \(3\) por ambos lados.

Preguntas para pensar:

<ul>
<li>¿Qué valores toma la función cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la izquierda?</li>
<li>¿Qué valores toma cuando \(x\) se acerca a \(3\) por la derecha?</li>
<li>¿Parece que la función se aproxima al mismo valor en ambos casos?</li>
<li>Si los valores a los que se acerca son distintos, ¿podemos decir que existe un único límite?</li>
</ul>

En este ejemplo, la aproximación por la izquierda y por la derecha no conduce al mismo valor.
Decimos entonces que los límites laterales son distintos:

\[
\lim_{x\to 3^-} f(x) = -5
\qquad
\lim_{x\to 3^+} f(x) = 5
\]

Como estos valores no coinciden, el límite de la función cuando \(x\to3\) no existe.

<h2>Idea importante</h2>

Para que exista el límite de una función en un punto, es necesario que la función se aproxime
al mismo valor desde ambos lados.

\[
\lim_{x\to a} f(x) \text{ existe}
\quad \text{si y solo si} \quad
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)
\]